Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 54 стр.

(Y1 ,Y2 ) .   Для дискретных и непрерывных случайных величин указанная
задача решается без труда. Действительно, имеем
              Φ ( y1 , y 2 ) = P(Y1 < y1 , Y2 < y 2 ) = P( f1 ( X 1 , X 2 ) < y1 , f 2 ( X 1 , X 2 ) < y 2 ) ,
и пусть        ( X 1 , X 2 ) — дискретный случайный вектор,                                                          X 1 = x1i , X 2 = x2 j —

значения Х1 и Х2, Pij = P(X 1 = x1i , X 2 = x2 j ) — вероятности этих значений, i,
j=1, 2, …, тогда
                                                 Φ( y1 , y 2 ) =    ∑p        ij
                                                                    i . j∈Λ


где суммирование распространено на множество индексов (i, j )∈ Λ ,
                            Λ = ((i, j ) : f1 (x1i , x2 j ) < y1 , f 2 (xi1 , x2 j ) < y 2 ) ,

( X 1 , X 2 ) — непрерывный случайный вектор, p(x1 , x2 ) — его плотность
вероятности, тогда
                                      Φ ( y1 , y 2 ) = ∫∫ p( x1 , x2 )dx1dx2 ,
                                                          D

где область D определяется условием:
                            D = (( x1 , x 2 ) : f1 ( x1 , x 2 ) < y1 , f 2 ( x1 , x2 ) < y 2 )
       Найдем           в    качестве            примера             функцию                             распределения               суммы
Y = X 1 + X 2 , если задана плотность вероятности p ( x1 , x 2 ) случайного вектора

( X 1 , X 2 ) . Имеем
                   Φ ( y ) = P(Y < y ) = P( X 1 + X 2 < y ) =                         ∫∫ p(x , x )dx dx
                                                                                                     1           2       1   2   =
                                                                                   x1 + x2 < y
                                 ∞      y − x1                        ∞             y − x2

                              = ∫ dx1
                                 −∞
                                          ∫ p(x , x )dx
                                         −∞
                                                  1   2       2    = ∫ dx2
                                                                     −∞
                                                                                      ∫ p(x , x )dx .
                                                                                     −∞
                                                                                                 1           2       1



       Сделав в интеграле замену переменных x1 + x2 = z , x1 = x1 , якобиан
отображения (x1 , x2 ) → (x1 , z ) равен 1, получим
                                                          y    ∞
                                            Φ( y ) =      ∫ ∫ p(x , z − x )dx .
                                                                          1                  1           1
                                                          −∞ −∞

Отсюда следует, что случайная величина Y имеет плотность вероятности


                                                              54