Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

55
() () ( )
.,
111
∫
∞
∞−
−=Φ
′
= dxxyxpyyp
Y
Таким образом, если двумерное распределение слагаемых Х
1
и Х
2
имеет плотность
()
21
, xxp
, то и их сумма
21
XXY +
=
также имеет
плотность, определенную последним равенством.
Если случайные величины Х
1
и Х
2
независимы, то
() ()()
2121
21
, xpxpxxp
XX
=
и можем записать
(
)
yp
Y
в виде свертки функций р
1
и р
2
:
() () ( ) () ( )
.
211221
XXXXXXY
ppdxxypxpdxxypxpyp ×=−=−=
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
Определение закона распределения суммы по законам распределения
независимых слагаемых называется композицией законов распределения
слагаемых.
Имеет место следующая
Теорема. [9] Пусть
Х
1
и
Х
2
независимые случайные величины, а
()
Xf
1
и
()
Xf
2
произвольные функции, такие, что
()
XfY
11
=
и
(
)
XfY
22
=
также случайные величины. Тогда
Y
1
и
Y
2
независимы, т.е. функции от
независимых случайных величин являются независимыми случайными
величинами.
Доказательство. Проведем доказательство для дискретных случайных
величин. Пусть
Х
1
принимает значения
хх
12
, , ...
, а
Х
2
принимает значения
уу
12
,,...
. Тогда случайные величины
(
)
XfY
11
=
и
(
)
XfY
22
=
также
дискретны, пусть
λ
и
μ
— любые фиксированные значения
Y
1
и
Y
2
. В силу
независимости случайных величин
Х
1
и
Х
2
, можем записать 
                                                             ∞
                                      pY ( y ) = Φ′( y ) =   ∫ p(x , y − x )dx .
                                                                        1            1   1
                                                             −∞

        Таким образом, если двумерное распределение слагаемых Х1 и Х2
имеет плотность                 p ( x1 , x2 ) , то и их сумма Y = X 1 + X 2 также имеет
плотность, определенную последним равенством.
        Если      случайные             величины              Х1            и   Х2             независимы,          то
p (x1 , x2 ) = p X1 (x1 ) p X 2 (x2 ) и можем записать pY ( y ) в виде свертки функций р1

и р2:
                            ∞                                ∞
               pY ( y ) =   ∫ p (x ) p ( y − x )dx = ∫ p (x ) p ( y − x )dx = p
                                 X1      X2                        X2           X1                   X1   × pX2 .
                            −∞                               −∞

        Определение закона распределения суммы по законам распределения
независимых слагаемых называется композицией законов распределения
слагаемых.

        Имеет место следующая
        Теорема. [9] Пусть Х1 и Х2 независимые случайные величины, а
f1 ( X ) и f 2 ( X ) произвольные функции, такие, что Y1 = f1 ( X ) и Y2 = f 2 ( X )
также случайные величины. Тогда Y1 и Y2 независимы, т.е. функции от
независимых случайных величин являются независимыми случайными
величинами.
        Доказательство. Проведем доказательство для дискретных случайных
величин. Пусть Х1 принимает значения х1 , х2 , ... , а Х2 принимает значения
у1 , у2 ,... . Тогда случайные величины                            Y1 = f1 ( X )             и Y2 = f 2 ( X ) также
дискретны, пусть λ и μ — любые фиксированные значения Y1 и Y2 . В силу
независимости случайных величин Х1 и Х2 , можем записать




                                                      55

Страницы