Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

56
() ()()
(
)
()() ()
()
()() ()
()
()()
()()
()()()()
μλ
μλ
λμ
μλ
μλ
===
====
====
======
∑∑
∑
∑
==
==
==
2211
::1
121
12
,:1,
1
,:1,
1212211
112
121
121
,,
xfPxfP
yXPxXP
yXPxXP
yXxXPXfXfP
k
k
k
xfkyf
k
yfxfk
k
yfxfk
k
что ввиду независимости случайных величин
Х
1
и
Х
2
и произвольности
λ
и
μ
означает независимость случайных величин
(
)
111
XfY
=
и
()
222
XfY =
.
Пример. Пусть (X, Y) непрерывный случайный вектор с плотностью
вероятности р(х, у). Найдем функцию распределения произведения Z=X+Y.
Имеем
() ( ) () () ()
∫∫∫∫∫ ∫
∞−
∞∞
<∞−
+==<=
xz
xzzxy
Z
dyyxpdxdyyxpdxdxdyyxpzXYPzF
/
0/
0
,,,
Отсюда получаем выражение для плотности Z
() ()
dx
x
z
xp
x
dx
x
z
xp
x
zFZp
ZZ
∫∫
∞
∞−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
′
=
0
0
11
. 
      P( f1 ( X 1 ) = λ , f 2 ( X 2 ) = μ ) =                      ∑ P( X        1     = xk , X 2 = y1 ) =
                                                ( k ,1): f1 ( xk )=λ , f 2 ( y1 )= μ
                                           =                   ∑ P ( X = x )P( X1             k                 2   = y1 ) =
                                                ( k ,1): f1 ( xk
                                                               )λ ( ) μ
                                                                   = , f2   y1 =

                                           =         ∑             P ( X 1 = xk )                 ∑ P( X             2   = y1 ) =
                                                k: f1 ( xk )=λ                               1: f 2 ( y1 )= μ

                                           = P ( f1 ( x1 ) = λ )P ( f 2 (x2 ) = μ )
что ввиду независимости случайных величин Х1 и Х2 и произвольности λ и
μ означает независимость случайных величин Y1 = f1 ( X 1 ) и Y2 = f 2 ( X 2 ) .
      Пример. Пусть (X, Y) непрерывный случайный вектор с плотностью
вероятности р(х, у). Найдем функцию распределения произведения Z=X+Y.
Имеем
                                                                        0            ∞                               ∞     z/x
      FZ ( z ) = P( XY < z ) =     ∫∫ p(x, y )dxdy = ∫ dx ∫ p(x, y )dy + ∫ dx ∫ p(x, y )dy
                                  xy < z                               −∞        z/x                                 0     −∞



      Отсюда получаем выражение для плотности Z
                                                     0                                   ∞
                                                   1           ⎛ z⎞        1                       ⎛ z⎞
                        p Z (Z ) = FZ′ ( z ) = − ∫            p⎜ x ⎟dx + ∫                        p⎜ x ⎟dx .
                                                −∞
                                                   x           ⎝ x⎠      0
                                                                           x                       ⎝ x⎠




                                                         56

Страницы