Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 58 стр.

       Примеры.
       1.    Равномерное распределение: Х равномерно распределена в [a,b],
т.е.
                                                              ⎧ 1
                                                              ⎪       , x ∈ [a, b],
                                                      p(x ) = ⎨ b − a
                                                              ⎪⎩ 0,     x ∉ [a, b],
             b
      1           a+b
MX =     ∫
     b−a a
           x dx =
                   2
                      — середина отрезка [a,b].

       2.    Распределение Пуассона: X = k с вероятностью
                                                          λk
                          pk = P( X = k ) =                    e −λ , λ > 0, k = 0, 1, 2, ...,
                                                          k!
                                    ∞
                                          λk e − λ              ∞
                                                                     λk e − λ           ∞
                                                                                              λk
                      MX = ∑ k                         = e −λ ∑                 = λe − λ ∑             = λ.
                                   k =0          k!            k =1 (k − 1)!           k =0   k!

       3.    Нормальное распределение: X ∈ N (a,σ 2 )
                 ∞      ( x−a )2                      ∞                  t2           ∞           t2          ∞        t2
        1                               1                            −    σ                   −  a                 −
 MX =            ∫ xe    2σ   2
                                   dx =                ∫ (σ t + a )e dt =2
                                                                                       ∫ te dt +  2
                                                                                                              ∫e       2
                                                                                                                            dt = a
      σ 2π       −∞                     2π            −∞                  2π          −∞         2π           −∞

так как первый интеграл в правой части равен нулю.
       Рассмотрим важную теорему о математическом ожидании функций от
случайных величин.
       Теорема 1. [9] Пусть Х – дискретная случайная величина (непрерывная
случайная величина), принимающая значения х1 , х2 , ... соответственно с

вероятностями р1 , р2 , ... ( имеющая плотность вероятности р(х)), а Y = f ( X )
— новая случайная величина, где f(.) – некоторая функция. Тогда
математическое ожидание Y равно
                                          ∞                 ⎛                 ∞
                                                                                                 ⎞
            MY = Mf ( X ) = ∑                    f (xi )pi ⎜⎜ MY = Mf ( X ) = ∫ f ( x ) p(x )dx ⎟⎟
                                          i =1              ⎝                 −∞                 ⎠
если ряд (интеграл) сходится абсолютно.
        Доказательство проведем для дискретной случайной величины Х. В
этом случае случайная величина Y = f ( X ) также дискретна, ее значениями

                                                                58