Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 59 стр.

являются числа у1 , у2 , ... , где множество у1 , у2 , ... совпадает с множеством
всех различных чисел среди f (x1 ), f (x2 ), ... , а вероятность каждого значения ys
равна

                q s = P (Y = y s ) = P (ω : f ( X (ω )) = y s ) =       ∑   p     k
                                                                        ( )
                                                                    k : f xk = y s

        Теперь имеем
                   ∞         ∞                 ∞     ⎛                 ⎞ ∞
            MY = ∑ y s qs =∑ y s ∑ pk = ∑ ⎜ ∑ f ( xk ) pk ⎟⎟ =∑ f ( xi ) pi
                                                     ⎜
                 s =1      s =1 k: f ( xk )= ys s =1 ⎝ k: f ( xk )= ys ⎠ i =1
последнее равенство выполняется ввиду того, что каждое слагаемое f ( xi ) pi
участвует в двух последних суммах один и только один раз, поскольку все ys
различны. Возможность объединения в одну сумму следует из леммы о
                                              ∞
суммировании по блокам, так как ряд          ∑ f (x ) p
                                              i =1
                                                     i    i   по условию сходится.

        Следствие. Для любой случайной величины Х и постоянных c k ,
k=0, 1, …, n
                                    ⎛ n     k ⎞
                                                  n
                                  M ⎜ ∑ ck X ⎟ = ∑ ck MX k
                                    ⎝ k =0    ⎠ k =0

        если M X k < ∞ , k = 1, 2, …, n.

                                                                                       n

        Это равенство вытекает из теоремы, в которой                         f ( x ) = ∑ ck x k —
                                                                                      k =0

полином. Из последнего равенства следует, что Мс = с и М(сХ)=сМХ, с –
любая постоянная.
        В случае, когда Х – дискретная случайная величина, принимающая
значения х1 , х2 , ... с вероятностями р1 , р2 , ... , определена на дискретном

вероятностном пространстве (Ω, Ξ, Ρ ) , нетрудно дать другое выражение для
математического ожидания:

                                      MX =   ∑ X (ω )P(ω )
                                             ωi ∈Ω
                                                     i        i




                                             59