Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 61 стр.

     1.     Нормальное распределение, X ∈ N (a,σ 2 ) . Так как МХ = а, то
получаем
                                          ∞                        ( x −a )2                         ∞              t2
                        1                                      −                    σ2                          −
                                          ∫ (x − a ) e                                               ∫t e
                                                           2
                 DX =                                               2σ 2
                                                                               dx =                       2         2
                                                                                                                         dt =
                      σ 2π                −∞                                        2π               −∞

                                                   2   ∞
                                                                                   ∞        t2
                                 σ 2 − t2                   σ2                          −
                               =
                                  2π
                                     te                   +
                                                            2π                 −∞
                                                                                   ∫e       2
                                                                                                 dt = σ 2
                                                       −∞


     Таким образом, параметры нормального распределения N (a, σ 2 ) : а –
                          2
математическое ожидание, σ — дисперсия. Нормальное распределение
полностью определяется этими двумя параметрами.
     2.     Распределение Пуассона:
      X = k , P ( X = k ) = e − λ λk / k!, λ > 0 , k=0, 1, 2, …. Было показано, что

МХ = λ . Используя формулу DX = MX 2 − (MX ) , получаем
                                                                                             2


                    ∞
                               λk e − λ                         ∞
                                                                                            λk              ∞
                                                                                                                         λk
            DX = ∑ k 2                    − λ2 = e − λ ∑ k (k − 1)                                 +e − λ ∑ k                 −λ2 =
                   k =0            k!                          k =0                          k!           k =0           k!

                       d 2 ⎛ ∞ λk ⎞ − λ d ⎛ ∞ λk ⎞ 2
                  =e λ    −λ
                            ⎜∑ ⎟ + e λ
                               2
                                              ⎜∑ ⎟ − λ =
                       dλ2 ⎜⎝ k = 0 k! ⎟⎠ dλ ⎜⎝ k = 0 k! ⎟⎠

                                               (
                                   = e − λ λ2 e λ + λe λ − λ2 = λ              )
     Таким образом, единственный параметр распределения Пуассона
задает как математическое ожидание, так и дисперсию.


             § 2. Свойства математического ожидания и дисперсии
     1)     Математическое ожидание суммы случайных величин равно
сумме математических ожиданий
                                               M ( X + Y ) = MX + MY
при условии, что М Х и M Y конечны [9].




                                                               61