Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 62 стр.

          Доказательство. а) (X, Y) – дискретная случайная величина. Пусть Х
принимает значения х1 , х2 , ... ,                                 а Y – значения у1 , у2 , ... . Тогда X+Y
принимает значения z1 , z2 , ... , где все zs различны, zs = xi + y j , а

                                                   rs = P( X + Y = z s ) =                    ∑p          ij
                                                                                        i , j:xi + y j = z s


где pij = P(X = xi , Y = y j ). Поэтому

                                  ∞          ∞    ⎛                 ⎞ ∞ ⎛                    ⎞
                   M ( X + Y ) = ∑ z s rs = ∑ z s ⎜ ∑ pij ⎟ = ∑ ⎜ ∑ (xi + y j ) pij ⎟ =
                                                  ⎜ i , j:x + y = z ⎟ s =1 ⎜ i , j:x + y = z ⎟
                                 s =1       s =1  ⎝ i j s⎠                 ⎝ i j s           ⎠
               ∞                     ∞      ∞               ∞           ∞           ∞                          ∞
          = ∑ (xi + y j ) pij = ∑ xi ∑ pij + ∑ y j ∑ pij = ∑ xi pi + ∑ y j q j = MX + MY
            i , j =1                 i =1   j =1            j =1       i =1         i =1                   j =1

           ∞                                          ∞

здесь ∑ pij = P( X = xi ) = pi и                     ∑p      ij    = P(Y = y j ) = q j ;
           j =1                                      i =1


ряды можно группировать в силу леммы и обратной леммы о суммировании
по блокам, так как ряды по условию сходятся абсолютно.
             б) (X,Y) – непрерывная случайная величина, р(х, у) – ее плотность
                                                                                                                       ∞

вероятности. Тогда плотность суммы Z=X+Y имеет вид p Z (z ) =                                                          ∫ p(x, z − x )dx .
                                                                                                                       −∞


Поэтому
                            ∞                       ∞ ∞                                          ∞ ∞
      M (X + Y ) =          ∫ z p (z )dz = ∫ ∫ zp(x, z − x )dxdz = ∫ ∫ (x + y ) p(x, y )dxdy =
                                 Z
                            −∞                      −∞ −∞                                      −∞ − ∞
      ∞            ∞                 ∞        ∞                             ∞                       ∞
  =   ∫ xdx ∫ p(x, y )dy + ∫ ydy ∫ p(x, y )dx = ∫ xp (x )dx + ∫ yp ( y )dy = MX + MY ,
      −∞           −∞                −∞      −∞                          −∞
                                                                                X
                                                                                                      −∞
                                                                                                                   Y



интегралы               можно     переставить                      в    силу        их            абсолютной            сходимости.
Свойство 1) доказано.
          2)            Из следствия из теоремы 1 и свойства 1) получаем свойство
линейности математического ожидания:
                                            M (c1 X + c 2Y ) = c1 MX + c 2 MY
           c1 , c2 — любые постоянные, если М Х и M Y конечны.


                                                                       62