Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 64 стр.

     Действительно,     случайная      величина     Z    =   X   –   Y   принимает
неотрицательные значения, поэтому согласно определению 1 (с k=1)
неравенство справедливо.
     б) Неравенство Коши-Буняковского:

                                 M XY ≤ MX2 ⋅ MY2 ,

если величины справа конечны.
     Доказательство. Имеем XY ≤ 1 / 2(X 2 + Y 2 ). Отсюда и из неравенства из

а) следует, что если МХ2 и MY2 конечны, то конечно и M XY . Далее при

любом λ

                 0 ≤ M (λ X + Y ) = λ2 MX 2 + 2λM XY + MY 2
                                   2



     Квадратный трехчлен относительно λ неотрицателен при всех λ ,
                                                                 2
стало быть, его дискриминант неположителен, т.е. M XY − MX ⋅ MY ≤ 0 ,
                                                          2    2



что и требовалось доказать.
         в) Неравенство Чебышева. Для любого ε > 0

                              P( X > ε ) ≤ M X / ε 2 ,
                                                2



           2
если M Х конечно.

         Доказательство. Введем случайную величину Y по формуле
                                  ⎧0, если Х ≤ ε
                               Y =⎨
                                  ⎩ε , если Х > ε
     Таким образом, Y – дискретная случайная величина, принимающая два
значения: 0 с вероятностью p1 = P( X ≤ ε ) и ε с вероятностью P( X > ε ) . Из
                            2          2
определения Y следует, что Y ≤ Х , и в силу неравенства из а) получаем

M X ≥ MY 2 = ε 2 P( X > ε ) , что и требовалось доказать.
     2




                                           64