Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 63 стр.

      3)         Если случайные величины Х и Y независимы, то
                                                   MXY = MX ⋅ MY
при условии, что М Х и M Y конечны.

        Доказательство.
      а) XY – дискретная случайная величина со значениями t1 , t 2 , ... , где

все     ts       различны,                 t s = xi y j        и               rs = P( XY = t s ) =        ∑p             ij   ,   причем
                                                                                                      i , j:xi y j =t s


pij = P(X = xi , Y = y j ) = pi q j , так как Х и Y независимы. Поэтому

                         ∞          ∞    ⎛                  ⎞ ∞ ⎛                 ⎞
                  MXY = ∑ t s rs = ∑ t s ⎜ ∑ pi q j ⎟ = ∑ ⎜ ∑ xi y j pi q j ⎟ =
                                         ⎜
                                   s =1 ⎝ i , j:xi y j =t s
                                                            ⎟ s =1 ⎜ i , j:x y =t ⎟
                        s =1                                ⎠      ⎝ i j s        ⎠
                              ∞                           ∞                ∞
                        =   ∑ xi y jpiq j = ∑ xi pi ∑ y jq j = MX ⋅ MY,
                            i , j=1                   i =1             j=1

группировка рядов законна в силу их абсолютной сходимости и леммы о
суммировании по блокам.
      б) Плотность произведения Z=XY имеет следующий вид (с учетом того,
что p ( x, y ) = p X ( x ) pY ( y ) в силу независимости Х и Y):
                                      0                                          ∞
                                   1            ⎛z⎞       1            ⎛z⎞
                    pZ ( z ) = − ∫ p X ( x ) pY ⎜ ⎟dx + ∫ p X ( x ) pY ⎜ ⎟dx
                                −∞
                                   x            ⎝ x⎠    0
                                                          x            ⎝ x⎠
Отсюда
             ∞                         0                       ∞                        ∞                      ∞
                             1                 ⎛z⎞        1                 ⎛z⎞
  MXY = ∫ z pZ ( z )dz = − ∫ p X ( x )dx ∫ zpY ⎜ ⎟ dz + ∫ p X ( x )dx ∫ zpY ⎜ ⎟ dz =
        −∞                −∞
                             x          −∞     ⎝ x⎠     0
                                                          x          −∞     ⎝ x⎠
                    0                      ∞                           ∞                    ∞
                      1                              1
                 = ∫ p X (x )dx ∫ tx 2 pY (t )dt + ∫ p X (x )dx ∫ tx 2 pY (t )dt =
                   −∞
                      x        −∞                  0
                                                     x         −∞
                                      ∞                   ∞
                               =      ∫ xp (x )dx ∫ tp (t )dt = MX ⋅ MY
                                      −∞
                                               X
                                                          −∞
                                                                   Y



перестановки интегралов законны в силу их абсолютной сходимости.
      4)         Некоторые неравенства.
      а) Если X ≥ Y , то MX ≥ MY .

                                                               63