Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

65
Взяв в неравенстве
(
)
,/
2
2
εε
XMXP ≤>
вместо
Х случайную
величину
Х – МХ и учитывая, что
(
)
DXMXXM =−
2
, запишем последнее
неравенство в виде
()
,/
2
εε
DXMXXP ≤>−
именно это неравенство обычно называют
неравенством Чебышева.
То же рассуждение с использованием случайной величины
Y,
определенной в доказательстве неравенства Чебышева, и неравенства а)
приводит к неравенству: для любого
ε
> 0
()
XMXP
ε
ε
1
≤>
, если
МХ
конечно и, в частности, если случайная величина
Х неотрицательна, то
()
MXXP
ε
ε
1
≤>
5)
Дисперсия постоянной равна нулю: Dc = 0, так как
(
)
(
)
0
22
=−=−= ccMMccMDc
Верно и обратное утверждение: если
DX = 0, то с вероятностью 1 Х
равна константе:
Х = МХ. Действительно, в силу неравенства Чебышева при
любом
(
)
εε
>−> MXXP0
. Поэтому на основании полной аддитивности
вероятности, получим
()
(
)
(
)
++≤−<+>−=>− ...12/110 MXXPMXXPMXXP
(
)
0...2/12/1
1
=+≤−<+
−kk
MXXP
и, таким образом, P{X – MX = 0} = 1.
6)
Если Y = cX, то
DY c DX=
2
, с – любая постоянная. Действительно,
()
(
)
[
]
DXcMXXcMMcXcXMDY
2
2
2
2
=−=−=
.
7)
Дисперсия суммы конечного числа попарно независимых
случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых 
       Взяв в неравенстве P( X > ε ) ≤ M X / ε ,
                                              2      2
                                                                 вместо Х случайную

величину Х – МХ и учитывая, что M ( X − MX ) = DX , запишем последнее
                                                         2



неравенство в виде

                       P( X − MX > ε ) ≤ DX / ε 2 ,
именно это неравенство обычно называют неравенством Чебышева.
       То же рассуждение с использованием случайной величины Y,
определенной в доказательстве неравенства Чебышева, и неравенства а)

приводит к неравенству: для любого ε > 0 P( X > ε ) ≤
                                                                     1
                                                                         M X , если М Х
                                                                     ε
конечно и, в частности, если случайная величина Х неотрицательна, то
                                                1
                             P( X > ε ) ≤           MX
                                                ε
     5)    Дисперсия постоянной равна нулю: Dc = 0, так как

                         Dc = M (c − Mc ) = M (c − c ) = 0
                                                2            2



       Верно и обратное утверждение: если DX = 0, то с вероятностью 1 Х
равна константе: Х = МХ. Действительно, в силу неравенства Чебышева при
любом ε > 0 P( X − MX > ε ) . Поэтому на основании полной аддитивности
вероятности, получим

       P( X − MX > 0 ) = P( X − MX > 1) + P(1 / 2 < X − MX ≤ 1) + ... +

                         (                                   )
                     + P 1 / 2 k < X − MX ≤ 1 / 2 k −1 + ... = 0
и, таким образом, P{X – MX = 0} = 1.

     6) Если Y = cX, то DY = c2 DX , с – любая постоянная. Действительно,

                                            [
            DY = M (cX − McX ) = M c 2 ( X − MX ) = c 2 DX .
                                  2                          2
                                                                 ]
     7)    Дисперсия суммы конечного числа попарно независимых
случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых




                                       65

Страницы