Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

67
§ 3. Условное математическое ожидание
Ранее была определена условная функция распределения
()( )
BxXPBxF // <=
случайной величины Х при условии В, если P(B) > 0 [9].
Математическое ожидание (или среднее значение)
Х по отношению к этому
условному распределению называется
условным математическим
ожиданием
. Таким образом
() ()
∫
∞
∞−
= BxxdFBXM
X
//
или подробно
() ()
∑
∞
=
=
1
/
k
kk
BpxBXM
если
Х дискретна,
x
k
— ее значения, а
(
)( )
BxXPBp
kk
/==
—
соответствующие вероятности, k = 1, 2, …; и
() ()
∫
∞
∞−
= dxBxxpBXM //
если
Х непрерывна,
()
Bxp /
— условная плотность вероятности. В частности,
если событие
В состоит в том, что случайная величина Y принимает
некоторое значение
у, Y=y, тогда согласно формулам плотности условного
распределения получим
()( )
∑
∞
=
===
1
/
//
k
jkkjj
PxyYXMyXM
(7)
для дискретных случайных величин, и
()( ) ()
∫
∞
∞−
=== dxyxxpyYXMyXM
X
///
(8)
для непрерывных случайных величин.
Очевидно, что таким образом определенные условные математические
ожидания обладают всеми свойствами 1) – 4) обычных математических
ожиданий, однако у них имеются и некоторые специфические свойства,
связанные с возможностью применения к ним различных вариантов формулы 
                     § 3. Условное математическое ожидание

       Ранее     была      определена         условная              функция        распределения
F ( x / B ) = P ( X < x / B ) случайной величины Х при условии В, если P(B) > 0 [9].
Математическое ожидание (или среднее значение) Х по отношению к этому
условному      распределению          называется              условным         математическим
ожиданием. Таким образом
                                                 ∞
                                   M (X / B) =   ∫ xdF (x / B )
                                                          X
                                                 −∞

или подробно
                                                      ∞
                                    M ( X / B ) = ∑ xk p k ( B )
                                                  k =1


если Х дискретна,         xk     — ее значения, а                     p k (B ) = P ( X = x k / B )   —
соответствующие вероятности, k = 1, 2, …; и
                                                 ∞
                                   M ( X / B ) = ∫ xp(x / B )dx
                                                 −∞

если Х непрерывна, p (x / B ) — условная плотность вероятности. В частности,
если событие В состоит в том, что случайная величина Y принимает
некоторое значение у, Y=y, тогда согласно формулам плотности условного
распределения получим
                                                                ∞
                        M (X / y j ) = M (X / Y = y j ) = ∑ xk Pk / j                                (7)
                                                               k =1

для дискретных случайных величин, и
                                                          ∞
                    M ( X / y ) = M ( X / Y = y ) = ∫ xp X ( x / y )dx                               (8)
                                                          −∞

для непрерывных случайных величин.
     Очевидно, что таким образом определенные условные математические
ожидания обладают всеми свойствами 1) – 4) обычных математических
ожиданий, однако у них имеются и некоторые специфические свойства,
связанные с возможностью применения к ним различных вариантов формулы

                                            67

Страницы