Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 66 стр.

                                                       ⎛ n     ⎞ n
                                                      D⎜ ∑ X i ⎟ = ∑ DX i
                                                       ⎝ i =1 ⎠ i =1
       Действительно,
                                                                                2                                2
          ⎛ n     ⎞     ⎛ n           n
                                          ⎞     ⎛ n               ⎞
         D⎜ ∑ X i ⎟ = M ⎜ ∑ X i − M ∑ X i ⎟ = M ⎜ ∑ ( X i − MX i )⎟ =
          ⎝ i =1 ⎠      ⎝ i =1      i =1  ⎠     ⎝ i =1            ⎠
             n                                                            n
     = M ∑ ( X i − MX i )( X k − MX k ) =
           i ,k =1
                                                                      ∑ M [( X
                                                                      i ,k =1
                                                                                         i   − MX i )( X k − MX k )] =

              n                            2           n                                                   n
          = ∑ M ( X i − MX i ) +                     ∑ M (X           i   − MX i )( X k − MX k ) = ∑ DX i
             i =1                               i,         k =1                                           i =1
                                                     i≠k


при доказательстве мы несколько раз пользовались свойством 1), в
предпоследнем равенстве учли независимость Xi и X k при i ≠ k и свойство
3), а последнее равенство основано на том, что M ( X i − MX i ) = MX i − MX i = 0 .

                  ⎛   n
                           ⎞     n
Равенство D⎜ ∑ X i ⎟ = ∑ DX i иногда называют равенством Бьенеме. [9]
                  ⎝ i =1   ⎠    i =1


         Пример.           Пусть               случайная                      величина           Х    распределена          по
биномиальному закону. Найдем МХ и DX. Введем случайные величины X k ,
равные числу успехов при k–м эксперименте в серии из n испытаний
Бернулли. Если вероятность успеха при каждом испытании равна р, то X k
принимает            два   значения             0           и     1       с         вероятностями         P( X k = 1) = p   и
P( X k = 0 ) = q = 1 − p , k = 1, 2, …, n.

Поэтому MX k = 1⋅ p + 0 ⋅ q = p , DX k = MX k2 − (MX k ) = 1⋅ p + 0 ⋅ q − p 2 = p − p 2 = pq .
                                                        2



       Число          успехов          Х       в           серии          из         n       испытаний     равно      сумме
X = X1 + X2 +...+ X n . Отсюда ввиду независимости Xi и свойств 1) и 7)

получаем
                                           n                                                 n
                               MX = ∑ MX k = pn, DX = ∑ DX k = npq.
                                       k =1                                              k =1




                                                                  66