Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

60
здесь
()
i
P
ω
— вероятность элементарного исхода
ω
i
, и сумма
распространена на все элементарные события
ω
i
∈
Ω
.
Определение 3. Математическое ожидание
(
)
k
MXXM −
называется k-
м центральным моментом
, если существует
MX MX
k
−
. Центральный
момент второго порядка называется
дисперсией случайной величины Х и
обозначается
DX:
()
2
MXXMDX −=
.
Этот момент является очень удобной характеристикой разброса
значений
Х около ее среднего значения – математического ожидания МХ. Так
как
()
(
)
(
)
()
2
2
2
2
2
22 MXMXMXMXMXXMXXMMXXM +⋅−=+−=−
то справедлива следующая формула для дисперсии:
(
)
2
2
MXMXDX −=
.
Отсюда следует, что
(
)
2
2
MXMX ≥
, поскольку
D
X
≥ 0
. Дисперсия имеет
размерность квадрата случайной величины; для характеристики разброса,
рассеивания иногда бывает удобнее пользоваться значением, размерность
которого совпадает с размерностью случайной величины. Такая величина
σ
XDX=
называется среднеквадратичным уклонением Х.
На основании определения дисперсии и теоремы 1 можно записать:
1)
если Х – дискретная случайная величина,
х
1
,, х ...
2
— ее
значения, а
р ,,
1
р ...
2
— соответствующие вероятности, то
()
k
л
k
pMXxDX
∑
∞
=
−=
1
2
2)
если Х – непрерывная случайная величина и р(х) – ее плотность
вероятности, то
()
pdxMXxDX
∫
∞
∞−
−=
2
Примеры. 
здесь        P(ω i )   —   вероятность     элементарного                исхода       ωi ,   и   сумма
распространена на все элементарные события ω i ∈Ω .

        Определение 3. Математическое ожидание M ( X − MX ) называется k-
                                                                                     k


                                                                                 k
м центральным моментом, если существует M X − MX . Центральный

момент второго порядка называется дисперсией случайной величины Х и
обозначается DX: DX = M ( X − MX ) .
                                  2



        Этот момент является очень удобной характеристикой разброса
значений Х около ее среднего значения – математического ожидания МХ. Так
как
                           2
                                (                       2
                                                            )
                M ( X − MX ) = M X 2 − 2 XMX + (MX ) = MX 2 − 2MX ⋅ MX + (MX )
                                                                                                2



то справедлива следующая формула для дисперсии:
                                      DX = MX 2 − (MX ) .
                                                                    2



        Отсюда следует, что MX 2 ≥ (MX ) , поскольку DX ≥ 0 . Дисперсия имеет
                                                  2



размерность квадрата случайной величины; для характеристики разброса,
рассеивания иногда бывает удобнее пользоваться значением, размерность
которого совпадает с размерностью случайной величины. Такая величина
σX = DX называется среднеквадратичным уклонением Х.
         На основании определения дисперсии и теоремы 1 можно записать:
        1)       если Х – дискретная случайная величина, х1 , х2 , ... — ее
значения, а р1 , р2 , ... — соответствующие вероятности, то
                                                ∞
                                     DX = ∑ (xk − MX ) pk
                                                                2

                                                л =1


        2)       если Х – непрерывная случайная величина и р(х) – ее плотность
вероятности, то
                                                ∞

                                                ∫ (x − MX ) pdx
                                                            2
                                         DX =
                                                −∞


        Примеры.


                                                60

Страницы