Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

53
является необходимым и достаточным условием независимости дискретных
случайных величин Х и Y.
Равенство
()
(
)
(
)
nXXn
xFxFxxF
n
...,,...,,
11
1
=
служит определением
независимости случайных величин Х
1
, …, Х
n
. Если независимые случайные
величины Х и Y имеют соответственно плотности вероятности
()
xp
X
и
(
)
yp
Y
,
то вектор (Х, Y) имеет плотность
(
)
(
)
(
)
ypxpyxp
YX
=
,
.
Важным является обратное утверждение: если плотность р(х, у)
случайного вектора (Х, Y) равна произведению плотностей координат,
() ()()
ypxpyxp
YX
=,
, то Х и Y независимы.
§ 5. Функции от случайных величин
Рассмотрим функции от случайных величин [9]. Ради наглядности
ограничимся случаем двух случайных величин. Итак, пусть на
вероятностном пространстве
(
)
Ρ
Ξ
Ω
,,
определены две случайные
величины
()
ω
11
XX =
и
)
Ω
∈
=
ω
ω
,
22
XX
и пусть
()
21
, xxF
— функция
распределения случайного вектора
(
)
21
, XX
. Рассмотрим некоторые функции
от случайных величин Х
1
и Х
2
, т.е. новые случайные величины Y
1
и Y
2
,
связанные функциональными зависимостями с Х
1
и Х
2
,
(
)
(
)
(
)
(
)()
() ()()()()
ωωω
ωωω
22122122
12112111
,,
,,
YXXfXXfY
YXXfXXfY
===
===
Здесь предполагается, что f
1
и f
2
таковы, что Y
1
и Y
2
вновь являются
случайными величинами, определенными на том же вероятностном
пространстве
ΡΞΩ ,,
(количество функций Y
i
может быть любым). Таким
образом, Y
1
и Y
2
являются сложными функциями ω, заданными на Ω.
Основная задача, возникающая в этой ситуации, состоит в том, чтобы,
зная функцию распределения
(
)
21
, xxF
случайного вектора
()
21
, XX
и
функции f
1
и f
2
найти функцию распределения
(
)
21
, yy
Φ
случайного вектора 
является необходимым и достаточным условием независимости дискретных
случайных величин Х и Y.
       Равенство        F (x1 , ..., xn ) = FX1 (x1 ), ..., FX n ( xn )    служит           определением
независимости случайных величин Х1, …, Хn. Если независимые случайные
величины Х и Y имеют соответственно плотности вероятности p X ( x ) и pY ( y ) ,
то вектор (Х, Y) имеет плотность p ( x, y ) = p X ( x ) pY ( y ) .
       Важным является обратное утверждение: если плотность р(х, у)
случайного вектора (Х, Y) равна произведению плотностей координат,
p ( x, y ) = p X ( x ) pY ( y ) , то Х и Y независимы.


                            § 5. Функции от случайных величин
       Рассмотрим функции от случайных величин [9]. Ради наглядности
ограничимся        случаем        двух          случайных         величин.         Итак,       пусть   на
вероятностном пространстве                  (   Ω, Ξ, Ρ    ) определены                    две случайные
величины X 1 = X 1 (ω ) и X 2 = X 2 (ω ), ω ∈ Ω и пусть F ( x1 , x2 ) — функция
распределения случайного вектора ( X 1 , X 2 ) . Рассмотрим некоторые функции
от случайных величин Х1 и Х2, т.е. новые случайные величины Y1 и Y2,
связанные функциональными зависимостями с Х1 и Х2,
                            Y1 = f1 ( X 1 , X 2 ) = f1 ( X 1 (ω ), X 2 (ω )) = Y1 (ω )
                            Y2 = f 2 ( X 1 , X 2 ) = f 2 ( X 1 (ω ), X 2 (ω )) = Y2 (ω )

       Здесь предполагается, что f1 и f2 таковы, что Y1 и Y2 вновь являются
случайными величинами, определенными на том же вероятностном
пространстве Ω, Ξ, Ρ (количество функций Yi может быть любым). Таким
образом, Y1 и Y2 являются сложными функциями ω, заданными на Ω.
       Основная задача, возникающая в этой ситуации, состоит в том, чтобы,
зная функцию распределения                      F ( x1 , x2 )   случайного вектора ( X 1 , X 2 ) и
функции f1 и f2 найти функцию распределения Φ ( y1 , y 2 ) случайного вектора




                                                    53

Страницы