Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

51
Продифференцируем это равенство по х, а затем устремим
0→
Δ
y
и
воспользуемся теоремой о среднем для интеграла по промежутку
[]
yyy
Δ
+
,
;
в результате найдем:
()
(
)
(
)
()
()
0
,
/
/ ==
=
≡ yp
yp
yxp
dx
yYxdF
yxp
y
Y
X
X
.
Функция
()
yxp
X
/
называется плотностью вероятности условного
распределения Х при условии Y=y. Равенство можно переписать в виде
(
)
(
)
(
)
yxpypyxp
XY
/,
=
напоминающем по форме теорему умножения вероятностей. Имеет место равенство
()( )()
∫
∞−
==<==
x
XX
dtytpyYxXPyYxF ///
Непрерывный аналог формулы полной вероятности имеет вид
() () ( )
∫
∞
∞−
= dyyxpypxp
XYX
/
Соответствующие рассуждения справедливы и для дискретного
случайного вектора (X, Y): пусть Х принимает значения x
i
, i = 1, 2, …, а Y
принимает значения y
j
, j = 1, 2, … и
(
)
jiij
yYxXPp
,
. При этом имеют
место равенства:
()
()
...,2,1,,,
11
=======
∑∑
∞
=
∞
=
jipyYPqpxXPp
ji
ijjjijii
Условные распределения вероятностей определяются следующим
образом:
()
(
)
()
()
...,2,1,,/
,
,
/
/
/
=====
=
=
=
=
====
ji
p
P
xXyYPQ
q
P
yYP
yYxXP
yYxXPP
i
ij
ijij
j
ij
j
ji
jiji
И как следствие этих равенств
pqP pQ
ij
j
ij i
i
ji
==
=
∞
=
∞
∑∑
11
//
,. q
j
      Продифференцируем это равенство по х, а затем устремим Δy → 0 и

воспользуемся теоремой о среднем для интеграла по промежутку [ y , y + Δy ] ;
в результате найдем:
                                      dFX ( x / Y = y ) p( x, y )
                     p X (x / y ) ≡                    =          py (y) = 0 .
                                             dx          pY ( y )

      Функция p X (x / y ) называется плотностью вероятности условного
распределения Х при условии Y=y. Равенство можно переписать в виде
                                  p ( x , y ) = pY ( y ) p X ( x / y )
напоминающем по форме теорему умножения вероятностей. Имеет место равенство

                                                                              x
                       FX (x / Y = y ) = P( X < x / Y = y ) =                 ∫ p (t / y )dt
                                                                                   X
                                                                              −∞

      Непрерывный аналог формулы полной вероятности имеет вид
                                               ∞
                                 p X (x ) =    ∫ p ( y ) p (x / y )dy
                                                    Y       X
                                               −∞
      Соответствующие рассуждения справедливы и для дискретного
случайного вектора (X, Y): пусть Х принимает значения xi, i = 1, 2, …, а Y
                                                                 (
принимает значения yj, j = 1, 2, … и pij = P X = xi , Y = y j . При этом имеют               )
место равенства:
                                  ∞                                    ∞
           pi = P ( X = xi ) = ∑ pij , q j = P (Y = y j ) = ∑ pij , i, j = 1, 2, ...
                                  j =1                                 i =1


      Условные распределения вероятностей определяются следующим
образом:
                                                         P(X = xi , Y = y j )          Pij
                    Pi / j = P(X = xi / Y = y j ) =                                =         ,
                                                       P(Y = y j )        qj
                                                       Pij
                        Qj/i   = P(Y = y j / X = xi ) = , i, j = 1, 2, ...
                                                       pi

      И как следствие этих равенств
                                         ∞                      ∞
                               pi = ∑ q jPi / j , q j = ∑ pi Q j/ i .
                                         j=1                    i =1




                                                    51

Страницы