Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

70
Определение 4. Математическим ожиданием вектора
()
n
XXX ...,,
1
=
называется вектор
(
)
n
MXMXMX ...,,
1
=
,
составленный из математических ожиданий координат.
Дисперсией вектора
(
)
n
XXX ...,,
1
=
называется вектор
(
)
n
DXDXDX ...,,
1
=
составленный из дисперсий координат.
Для многомерных случайных величин справедлив аналог теоремы 1,
так что, например, если
()
n
xxf ...,,
1
— произвольная функция такая, что Y =
f(X) – новая случайная величина, то
() ( )( )
nnn
dxdxxxpxxfxMfMY ...,,...,,...,,...
111
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
==
при условии, что этот интеграл сходится абсолютно (здесь
()
n
xxp ...,,
1
—
плотность вероятности случайного вектора
(
)
n
XXX ...,,
1
=
. В частности,
() ( )
MXaMXaXaMXaM
n
k
kk
n
k
kk
,,
11
===
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∑∑
==
где
()
n
aaa ...,,
1
=
и ( , ) – знак скалярного произведения в
R
n
, а если
координаты
Х независимы в совокупности, то
(
)
nn
MXMXXXM ...,,...,,
11
=
Важной характеристикой
n-мерной случайной величины Х является так
называемая
матрица ковариаций, или дисперсионная матрица:
(
)
(
)
[
]
jijijjiijiij
MXMXXMXMXXMXXMXXa −
=
−
−
≡= cov
i, j = 1, … , n.
На главной диагонали в матрице ковариаций стоят дисперсии:
aDX a
ii i ji
==; a
ij
называется также корреляционным моментом случайных
величин
X
i
и
X
j
. В силу определения дисперсионной матрицы ясно, что
если
X
i
и
X
j
независимы, то
aXX
ij i j
≡
=
cov 0
. Таким образом, условие 
        Определение           4.          Математическим                 ожиданием             вектора
X = ( X 1 , ..., X n ) называется вектор

                                          MX = (MX 1 , ..., MX n ) ,
составленный из математических ожиданий координат.
        Дисперсией вектора X = ( X 1 , ..., X n ) называется вектор

                                          DX = (DX 1 , ..., DX n )
составленный из дисперсий координат.
        Для многомерных случайных величин справедлив аналог теоремы 1,
так что, например, если f ( x1 , ..., xn ) — произвольная функция такая, что Y =
f(X) – новая случайная величина, то
                                          ∞   ∞
                   MY = Mf ( x ) = ∫ ... ∫ f (x1 , ..., xn )p ( x1 , ..., xn )dx1 , ..., dxn
                                       −∞     −∞


при условии, что этот интеграл сходится абсолютно (здесь p ( x1 , ..., xn ) —

плотность вероятности случайного вектора X = ( X 1 , ..., X n ) . В частности,

                           ⎛ n        ⎞                n
                         M ⎜ ∑ ak X k ⎟ = M (a, X ) = ∑ ak MX k = (a, MX )
                           ⎝ k =1     ⎠               k =1


где a = (a1 , ..., an ) и ( , ) – знак скалярного произведения в R n , а если
координаты Х независимы в совокупности, то
                                   M ( X 1 , ..., X n ) = MX 1 , ..., MX n
      Важной характеристикой n-мерной случайной величины Х является так
называемая матрица ковариаций, или дисперсионная матрица:
                                      [                              ]
             aij = cov X i X j ≡ M ( X i − MX i )(X j − MX j ) = MX i X j − MX i MX j

      i, j = 1, … , n.
        На главной диагонали в матрице ковариаций стоят дисперсии:
a ii = DXi ; a ij = a ji называется также корреляционным моментом случайных

величин Xi и X j . В силу определения дисперсионной матрицы ясно, что

если Xi и X j независимы, то a ij ≡ cov Xi X j = 0 . Таким образом, условие

                                                   70

Страницы