Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

71
a
ij
≠ 0
является достаточным признаком зависимости
X
i
и
X
j
. Обратное
утверждение неверно: из равенства нулю
cov X X
ij
не следует независимость
X
i
и
X
j
.
Поскольку при любом
с
(
)
0cov2
2
≥++=+
jijiji
XXcDXcDXcXXD
, то, полагая
(
)
jji
DXXXc /cov−=
, найдем
(
)
0/cov
2
≥−
jjii
DXXXDX
, т.е.
cov X X DX DX
ij i j
≤
. Отсюда следует существование матрицы ковариаций
в случае, когда
DX
j
<∞, j = 1, 2, ..., n
.
Вспоминая доказательство равенства Бьенеме, получим для любого
вектора
()
n
XXX ...,,
1
=
с конечной дисперсией:
∑∑∑
≠
===
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
n
ji
ji
n
i
i
n
i
i
ji
XXDXXD
1,11
cov
Из определения дисперсионной матрицы видно, что корреляционный
момент характеризует не только зависимость величин
X
i
и
X
j
, но и их
рассеивание. Для характеристики чистой (линейной) связи между
X
i
и
X
j
вводят так называемый
коэффициент корреляции
r
XX
DX DX
ij
ij
ij
=
cov
.
Мы видели, что
cov X X DX DX
ij i j
≤
, так что
r
ij
≤=11, r
ii
, i,j=1,…,n.
На основании равенства для вектора с конечной дисперсией находим, что
(
σσ
ii j
DX DX==,
j
)
()
012 ≥±=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
±
ij
j
j
i
i
r
X
X
D
σσ
a ij ≠ 0 является достаточным признаком зависимости Xi и X j . Обратное

утверждение неверно: из равенства нулю cov Xi X j не следует независимость

Xi и X j .

         Поскольку                       при                            любом                    с
D (X i + cX j ) = DX i + c 2 DX j + 2c cov X i X j ≥ 0 ,                 то,               полагая

c = −(cov X i X j ) / DX j ,                          DX i − (cov X i X j ) / DX j ≥ 0 ,
                                                                          2
                                  найдем                                                       т.е.

cov Xi X j ≤ DXi DX j . Отсюда следует существование матрицы ковариаций

в случае, когда DX j < ∞, j = 1, 2, ..., n .

         Вспоминая доказательство равенства Бьенеме, получим для любого
вектора X = ( X 1 , ..., X n ) с конечной дисперсией:

                                ⎛ n     ⎞ n              n
                               D⎜ ∑ X i ⎟ = ∑ DX i + ∑ cov X i X j
                                ⎝ i =1 ⎠ i =1        i , j =1
                                                             i≠ j


       Из определения дисперсионной матрицы видно, что корреляционный
момент характеризует не только зависимость величин Xi и X j , но и их

рассеивание. Для характеристики чистой (линейной) связи между Xi и X j

вводят так называемый коэффициент корреляции
                                                  cov Xi X j
                                         rij =                      .
                                                      DXi DX j

       Мы видели, что cov Xi X j ≤ DXi DX j , так что rij ≤ 1, rii = 1, i,j=1,…,n.

На основании равенства для вектора с конечной дисперсией находим, что

( σ i = DXi , σ j = DX j )

                                     ⎛X    Xj⎞
                                    D⎜ i ±     ⎟ = 2(1 ± rij ) ≥ 0
                                     ⎜σ    σ   ⎟
                                     ⎝ i     j ⎠




                                                 71

Страницы