Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

72
отсюда
r
ij
=±1
тогда и только тогда, когда
0=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
±
j
j
i
i
X
X
D
σσ
, а это, в свою
очередь, в силу свойства 5) дисперсии возможно лишь тогда, когда случайная
величина
Y
X
X
i
i
j
j
=±
σσ
равна постоянной с вероятностью 1. Таким образом,
XX
ij
=+
α
β
(линейно связаны), если и только если
r
ij
=
±1
.
Если
r
ij
> 0
, то говорят, что между
X
i
и
X
j
положительная
корреляция
, и это означает, что
X
i
и
X
j
имеют тенденцию возрастать и
убывать одновременно. При
r
ij
<
0
ситуация обратная. Если
r
ij
=
0
, то
говорят, что случайные величины
X
i
и
X
j
некоррелированы, и этому
свойству можно придать определенный геометрический смысл. С этой целью
рассмотрим множество случайных величин с конечным моментом второго
порядка
МХ
2
<∞
. Из
МХ
22
<∞ <∞, МY
следует, что при любых
постоянных
а и
b
()
∞<+
2
bYaXM
, поэтому множество таких случайных
величин относительно операций сложения и умножения на число образуют
линейное пространство
L.
Определим в
L квазискалярное произведение
(
X,Y)=MXY.
MXY обладает всеми свойствами скалярного произведения, за исключением
одного: из
МХ
2
0=
не следует Х = 0, а следует лишь, что Х = 0 с
вероятностью 1. Это обстоятельство не мешает дать следующую
геометрическую интерпретацию: матрица ковариаций является матрицей
квазискалярных произведений случайных величин
(
)
niMXX
ii
...,,1, =−
. При
этом некоррелированность означает ортогональность в смысле
квазискалярного произведения.
Заметим, что
()
ii
MXX
−
является истинно “случайной” частью
величины
X
i
и матрица ковариаций характеризует связь (статистическую) 
                                             ⎛ Xi X j ⎞
отсюда rij = ±1 тогда и только тогда, когда ⎜⎜
                                           D     ±     ⎟ = 0 , а это, в свою
                                                       ⎟
                                               σ
                                             ⎝ i   σ j ⎠


очередь, в силу свойства 5) дисперсии возможно лишь тогда, когда случайная
               Xi       Xj
величина Y =        ±        равна постоянной с вероятностью 1. Таким образом,
               σi       σj

Xi = αX j + β (линейно связаны), если и только если rij = ±1 .

       Если rij > 0 , то говорят, что между Xi и X j положительная

корреляция, и это означает, что Xi и X j имеют тенденцию возрастать и

убывать одновременно. При rij < 0 ситуация обратная. Если rij = 0 , то

говорят, что случайные величины Xi и X j некоррелированы, и этому

свойству можно придать определенный геометрический смысл. С этой целью
рассмотрим множество случайных величин с конечным моментом второго

порядка     МХ2 < ∞ . Из        МХ2 < ∞, МY2 < ∞     следует, что при любых
постоянных а и b M (aX + bY )2 < ∞ , поэтому множество таких случайных
величин относительно операций сложения и умножения на число образуют
линейное пространство L.
       Определим в L квазискалярное произведение
                                        (X,Y)=MXY.
MXY обладает всеми свойствами скалярного произведения, за исключением

одного: из МХ2 = 0 не следует Х = 0, а следует лишь, что Х = 0 с
вероятностью     1.     Это    обстоятельство   не   мешает   дать   следующую
геометрическую интерпретацию: матрица ковариаций является матрицей
квазискалярных произведений случайных величин ( X i − MX i ), i = 1, ..., n . При
этом      некоррелированность        означает    ортогональность     в   смысле
квазискалярного произведения.
       Заметим, что          ( X i − MX i ) является истинно “случайной” частью
величины Xi и матрица ковариаций характеризует связь (статистическую)

                                         72

Страницы