Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 74 стр.

                                                                                      ρ2
                                         ω n−1                  x
                                                                                  −
                                                                ∫ρ                         dρ
                                                                        n−1
                                     =                                      e         2
                                       (2π )n / 2               0

где ω n−1 — площадь поверхности единичной (n – 1)-мерной сферы; ω n−1

легко вычислить исходя из последней формулы. Поскольку F (+ ∞ ) = 1 , то
                                                            2
                          ω n−1 ∞ n−1 − ρ2     ω n−1 ⎛ n ⎞ n2 −1
                         (2π )n−1 ∫0
                      1=             ρ e dρ =         Γ⎜ ⎟ 2
                                              (2π )n−1 ⎝ 2 ⎠
     Таким образом,

                                                       2π n / 2
                                       ω n−1         =
                                                        ⎛n⎞
                                                       Γ⎜ ⎟
                                                        ⎝ 2⎠
Подставляя ω n−1 в формулу для F(x), находим окончательно
                                                                ∞                     ρ2
                                                 1                                −
                          F (x ) =        n              ∫ρ
                                                                        n −1
                                                                              e       2
                                                                                           dρ , x > 0
                                            −1       ⎛n⎞
                                      2   2
                                                 Γ⎜ ⎟ 0
                                                  ⎝ 2⎠
     Поскольку P(χ n < x ) = 0 при x ≤ 0 , то F(x)=0, x ≤ 0 . Отсюда и из
                   2



последней формулы для F(x) получаем
                                               ⎧         1
                                                                 n
                                                                 2
                                                                   −1 − x

                                               ⎪⎪               x e 2
                      p χ 2 ( x ) = F ′( x ) = ⎨ 2 n / 2 Γ⎛⎜ ⎞⎟
                                                            n             , x>0
                         n
                                                ⎪           2
                                                           ⎝ ⎠
                                                ⎪⎩          0,       x≤0

     Зная p χ 2 , найдем M χ 2 и D χ 2 :
              n                  n          n


                                                                                           n
                                       ∞         n      x                                    +1
                             1                        −                               2    ⎛n ⎞
                                                                                           2
              Mχ2 =                    ∫ x e dx =                                         Γ⎜ + 1⎟ = n
                                                 2
                                                        2
                                ⎛n⎞                                                  ⎛n⎞ 2 ⎠
                                                                            2 n / 2 Γ⎜ ⎟ ⎝
                  n
                       2 n / 2 Γ⎜ ⎟ 0
                                ⎝ 2⎠                                                 ⎝ 2⎠
     поскольку Г(s+1)=s Г(s);

                           Dχ 2 = M
                                 n        ( )
                                           χ n2
                                                2      ( ) = M(
                                                     − M χ2
                                                                    n
                                                                        2
                                                                                            χ n2   )
                                                                                                   2   − n2 ,

и так как

                                                      74