Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 76 стр.

                                                  n
                                                             ∞           ( zx )2 − nz 2
                                            n     2                  −
                           ptn ( x ) = n                     ∫z e
                                                                 n         2        2
                                                                                          dz =
                                         −1 ⎛ n ⎞
                                      2 2 Γ⎜ ⎟ 2π            0

                                            ⎝ 2⎠
                                                          ⎛ n +1⎞               −( n+1)
                 n   n 1
                      −                       ∞          Γ⎜      ⎟
                                                              2 ⎠ 1 ⎛ x ⎞ 2
                                                      n                    2
                 2
                  n 22 2
                           1                            −1
                                                          ⎝
                                              ∫0 t e dt = ⎛ n ⎞ πn ⎜⎜⎝1 − n ⎟⎟⎠
                                                    −t
        =
                                                      2



                               (       )
              n                         n 1
                −1 ⎛ n ⎞                 +
            2 2 Γ⎜ ⎟ 2π x + n                             Γ⎜ ⎟
                         2              2 2

                   ⎝ 2⎠                                     ⎝ 2⎠
     С помощью этой формулы вычисляем Mt n , n ≥ 2 ,

                                  ⎛ n +1⎞                     −( n +1)
                                 Γ⎜      ⎟    ∞
                                      2 ⎠  1      ⎛     x 2
                                                            ⎞
                           M tn = ⎝
                                                                 2

                                    ⎛ n ⎞ πn −∫∞ ⎜⎝
                                                x ⎜ 1 −     ⎟          dx = 0
                                                        n ⎟⎠
                                  Γ⎜ ⎟
                                    ⎝ 2⎠
ввиду нечетности подынтегральной функции. Теперь
                                             ⎛ X2 ⎞             ⎛ n ⎞
                            Dtn = M t 2 = M ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = MX 2 ⋅ M ⎜⎜ 2 ⎟⎟
                                             ⎝ χn / n ⎠         ⎝ χn ⎠
                                     n




так как Х2 и χ 2n / n независимы. Обозначим Y = n / χ 2n , имеем при x > 0

                                  ⎛ n      ⎞     ⎛1 χ2 ⎞         ⎛       n⎞
                     FY ( x ) = P⎜⎜ 2 < x ⎟⎟ = P⎜⎜ < n ⎟⎟ = 1 − P⎜ χ n2 ≤ ⎟
                                  ⎝ χn     ⎠     ⎝n  n ⎠         ⎝       x⎠

     Отсюда находим
                                      ⎧       n
                                                          n −⎛ n +1 ⎞
                                        ⎛
                                      ⎪⎜ ⎟n ⎞ 2  1      −      ⎜    ⎟

                                      ⎪               e   2ч
                                                             x ⎝2 ⎠
                                                                      , x>0
                           pY ( x ) = ⎨⎝ 2 ⎠ Γ⎛⎜ n ⎞⎟
                                      ⎪         ⎝ 2⎠
                                      ⎪⎩         0,                     x≤0


     Поэтому
                                   n
                                     ∞ n                      ∞
          ⎛ n ⎞         ⎛ n ⎞2 1               −
                                                 n                  n
                                                          1 n −t 2 − 2       n
       M ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = MY = ⎜ ⎟
          ⎝ χn ⎠
                                     ∫
                        ⎝ 2 ⎠ Γ⎛ n ⎞ 0
                                       e 2 x
                                             x   2
                                                   dx =
                                                         ⎛n⎞ 2∫
                                                                e t    dt =
                                                                            n−2
                               ⎜ ⎟                      Γ⎜ ⎟ 0
                               ⎝ 2⎠                      ⎝ 2⎠

Так как MX2 = DX = 1 , то получим


                                                  76