Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 75 стр.

                                                                                                   n
                                                   ∞       n        x                                +2
                                    1                        +1   −                            2   2
                                                                                                    ⎛n    ⎞
                         =                         ∫ x e dx =                                      Γ⎜ + 2 ⎟ = n 2 + 2n
                                                           2
            M                                                       2
                ( )  2
                                        ⎛n⎞                                                   ⎛n⎞ 2
                                                                                     2 n / 2 Γ⎜ ⎟ ⎝       ⎠
                χ n2
                               2 n / 2 Γ⎜ ⎟ 0
                                        ⎝ 2⎠                                                  ⎝ 2⎠
то D χ 2 = 2 n .
       n


       2.       tn       -распределением                          с         n       степенями                      свободы            называется

распределение случайной величины t n = X / Y , где X ∈ N (0, 1) , Y = χ 2n / n ,

 χ 2n определено в 1) и Х и Y независимы. В силу последнего условия

случайный вектор (Х, Y) имеет плотность                                                              p ( x1 , x 2 ) = p X ( x1 ) pY ( x2 ) , а
плотность частного Х/Y определяется с помощью формулы
                                                                                                     0                     ∞
              ⎛X    ⎞
             P⎜ < y ⎟ =
              ⎝Y    ⎠
                                        ∫∫ p (x ) p (x )dx dx
                                     x1 / x2 < y
                                                   1       1      2     2       1          2   =     ∫ p (x )dx ∫ p (x )dx
                                                                                                    −∞
                                                                                                              2    2   2
                                                                                                                           x2 y
                                                                                                                                  1   1   1   +

                                                           ∞                        x2 y

                                                   + ∫ p2 ( x2 )dx2                 ∫ p (x )dx 1    1          1
                                                           0                        −∞

                                                           ∞                                              0
                         ptn ( x ) = Ftn′ ( x ) = ∫ zp X ( zx ) pY ( z )dz − ∫ zp X ( zx )pY (z )dz
                                                           0                                              −∞

Далее,
                                             ⎛ χ2     ⎞
                                 FY ( x ) = P⎜
                                             ⎜ n
                                                n
                                                  < x ⎟ = P χ n2 < x 2 n = Fχ 2 x 2 n
                                                      ⎟                       n
                                                                                     (                        )        ( )
                                             ⎝        ⎠
       Так как M χ 2 = n , то плотность распределения Y равна
                           n



                                                                            ⎧      n
                                                                                                x 2n
                                                                            ⎪ n
                                                                                   2          −
                                                                                         n −1
                                                                            ⎪ n −1 n x e , x > 0
                                                                                                 2

                   pY ( x ) = FY′ (x ) = pχ 2              ( ) x n ⋅ 2 xn = ⎨ 2 ⎛ ⎞
                                                                2
                                                                              2 Γ⎜ ⎟
                                                                            ⎪
                                                       n

                                                                                    ⎝ 2⎠
                                                                            ⎪     0,                 x≤0
                                                                            ⎩

       Ввиду последнего равенства второй интеграл в равенстве для ptn ( x )
исчезает, и мы находим


                                                                      75