Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 73 стр.

именно этих “случайных” частей. Равенство rij = 1 означает, что Xi − MXi и

X j − MX j линейно зависимы в построенном линейном пространстве L.

         Примеры. В математической статистике мы будем постоянно

использовать         χ 2n —распределение                               (распределение                                    Пирсона),           tn —

распределение              (распределение Стьюдента) и                                                         Fk ,m —распределение

(распределение Фишера). В связи с этим вычислим здесь плотности этих
распределений и их различные числовые характеристики.

        1.    χ 2n   -распределением                       с          n          степенями                   свободы                 называется

распределение случайной величины χ 2n = X12 +...+ X2n , где все X i ∈ N (0, 1) и
                                             2
независимы. Найдем плотность распределения χ n . Случайный вектор
                                                                                                                       1 n 2
                                                                                                1                  −    ∑     xi
X = ( X 1 , ..., X n ) имеет плотность p( x1 , ..., xn ) =
                                                                                                                       2 i =1
                                                                                                           e                       поэтому
                                                                                             (2π )     n/2


                                                                                                       1 n 2
                                                                                                        ∑
                                     (                )
                                                                                                   −          xi
                                                                                         1
                        F (x ) = P χ n2 < x =                         ∫ ...∫
                                                                                                       2 i =1
                                                                                               e                   dx1...dxn
                                                                n                (2π )n / 2
                                                             ∑ xi2 < x
                                                               i =1


Введем сферические координаты:
                          x1 = ρ cosϕ 1 ,
                          x2 = ρ sin ϕ 1 cosϕ 2 ,
                          .................................,
                          x n = ρ sin ϕ 1 sin ϕ 2 ...sin ϕ n−1 ,
                          −π / 2 ≤ ϕ i ≤ π / 2, i = 1, ..., n - 2, - π ≤ ϕ n-1 ≤ π .

Тогда
                                                                       π          π
                                    x                ρ2                 2         2
                           1                     −
             F (x ) =                                     dρ ⋅ 2 ∫ ... ∫ (ϕ1 , ..., ϕ n−1 )dϕ1 , ..., dϕ n−1 =
                        (2π )n / 2 ∫0
                                      ρ   n −1
                                             e       2

                                                                           π         π
                                                                       −         −
                                                                       2  2
                                                                       1 23
                                                                               n −1




                                                                73