Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

80
Теорема 1 [9]. Пусть
XX
n
→
р
, а g(x) — непрерывная функция, так что
Y = g(X) и
()
nn
XgY =
— случайные величины, n = 1, 2, … . Тогда
YY
n
→
р
при
n
→∞
.
Здесь мы будем постоянно использовать неравенство Чебышева: для
любой случайной величины Х с конечной дисперсией DX и любого
ε
> 0
справедливо неравенство
(
)
2
/
εε
DXMXXP ≤>−
.
Основываясь на неравенстве Чебышева, сформулируем удобный
критерий сходимости по вероятности [9].
Лемма 1. Если для последовательности случайных величин
{
}
n
X
MX
n
= 0
,
DX
n
→ 0
при
n
→
∞
, то
X
n
→ 0
.
Доказательство. В силу неравенства Чебышева и того, что
MX
n
=
0
,
имеем для любого фиксированного
ε
> 0
(
)
∞→→≤>≤ nDXXP
n
,0/0
2
εε
.
Переходим к установлению закона больших чисел в форме Чебышева.
Теорема 2 (Чебышев) [9]. Пусть
XX X
n12
, ,..., ,...
последовательность
попарно независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены в
совокупности:
DX c
i
≤ , i = 1, 2, ...
. Тогда последовательность случайных
величин
()
∑
=
−=
n
i
iin
MXX
n
Y
1
1
сходится по вероятности к нулю при
n
→
∞
0,0
11
lim
11
>=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≤−
∑∑
==
∞→
εε
n
i
n
i
ii
n
MX
n
X
n
P
— любое.
Доказательство. Имеем
()
0
1
1
=−=
∑
=
n
i
iin
MXMX
n
MY
,
DY
n
DX
cn
n
ni
i
n
=≤→
=
∑
1
0
2
1
2
       Теорема 1 [9]. Пусть X n → X , а g(x) — непрерывная функция, так что
                                  р

Y = g(X) и Yn = g ( X n ) — случайные величины, n = 1, 2, … . Тогда Yn → Y
                                                                              р

при n → ∞ .
       Здесь мы будем постоянно использовать неравенство Чебышева: для
любой случайной величины Х с конечной дисперсией DX и любого ε > 0
справедливо неравенство
                               P( X − MX > ε ) ≤ DX / ε 2 .

      Основываясь на неравенстве Чебышева, сформулируем удобный
критерий сходимости по вероятности [9].
       Лемма 1. Если для последовательности случайных величин {X n }
       MX n = 0 , DX n → 0 при n → ∞ , то X n → 0 .

       Доказательство. В силу неравенства Чебышева и того, что MX n = 0 ,

имеем для любого фиксированного ε > 0
                         0 ≤ P( X n > ε ) ≤ DX / ε 2 → 0, n → ∞ .

 Переходим к установлению закона больших чисел в форме Чебышева.
       Теорема 2 (Чебышев) [9]. Пусть X1 , X2 ,..., X n ,... последовательность
попарно независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены в
совокупности: DXi ≤ c, i = 1, 2, ... . Тогда последовательность случайных
             1 n
величин Yn = n ∑    ( X i − MX i ) сходится по вероятности к нулю при n → ∞
               i =1


                        ⎛1 n     1 n          ⎞
                  lim P⎜⎜ ∑ X i − ∑ MX i ≤ ε ⎟⎟ = 0, ε > 0 — любое.
                  n →∞
                        ⎝ n i =1 n i =1       ⎠
 Доказательство. Имеем
                                  1 n
                             MYn = ∑ (MX i − MX i ) = 0 ,
                                  n i =1
                                           n
                                      1             cn
                             DYn =
                                      n2
                                         ∑ DXi ≤ n2 → 0
                                          i =1


                                          80

Страницы