Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 82 стр.

       Теорема 3 (Бернулли) [9]. Пусть Yn — число успехов в серии из n
испытаний Бернулли и р – вероятность успеха при каждом испытании. Тогда

последовательность частот {Yn / n} при n → ∞ cходится по вероятности к р.
       Доказательство. Введем случайные величины X k , равные числу
успехов при k-м испытании, k = 1, 2, … . Тогда Yn = X1 +...+ X n , MX k = p ,

DX k = pq . Поэтому согласно теореме Чебышева при любом ε > 0

                     ⎛Y           ⎞         ⎛1 n     1 n          ⎞
               lim P⎜⎜ n − p > ε ⎟⎟ = lim P⎜⎜ ∑ X k − ∑ MX k > ε ⎟⎟ = 0
               n →∞
                     ⎝ n          ⎠ n→∞ ⎝ n k =1     n k =1             .
                                                                  ⎠
       В определенном смысле эта теорема может служить “аксиомой
измерения”, доставляя непротиворечивый способ практического определения
тех вероятностей, о которых идет речь в аксиоматической теории
вероятностей. Закон больших чисел Бернулли утверждает, что для
фиксированного достаточно большого n очень правдоподобно, что частота
Yn / n будет уклоняться от вероятности р меньше, чем на ε . Отсюда, однако,

не следует, что разность Yn / n − p останется малой для всех достаточно
больших n. Может оказаться, что она принимает значения, близкие к
единице. Теорема 3 гарантирует лишь, что эти большие отклонения могут
появляться весьма редко. Для полного обоснования частотной интерпретации
вероятности желательно иметь теорему, обеспечивающую сходимость
последовательности частот к вероятности. Введем сейчас некоторые новые
понятия и дадим усиленный вариант теоремы Бернулли, удовлетворяющий
этому требованию.
       Определение    2. Последовательность         случайных     величин   {X n }
сходится к случайной величине Х с вероятностью 1 ( или почти наверное),
если
                           (                             )
                         P ω ∈ Ω : lim X n (ω ) = X (ω ) = 1
                                     n →∞




                                       82