Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

84
Доказательство. Пусть событие
B
n
состоит в том, что происходит
хотя бы одно из событий
A
k
с
kn≥
, т.е.
BA
nk
kn
=
=
∞
U
. Очевидно, что
BB
12
⊃⊃..
. Пусть, далее, событие В означает, что происходит бесконечное
число событий из
A
n
, n = 1, 2, ...
. Событие В наступает тогда и только тогда,
когда происходят все
B
n
, т.е.
BB
n
n
=
=
∞
1
I
. Отсюда в силу того, что
BB
12
⊃
⊃
..
и непрерывности вероятности, получим:
(
)()
n
n
BPBP
∞→
=
lim
Поскольку
BA
nk
kn
=
=
∞
U
, то
() ()
∑
∞
=
≤
nk
kn
APBP
.
Так как ряд
()
∑
∞
=1n
n
AP
сходится, то его остаток
()
0
1
→
∑
∞
=n
n
AP
при
n
→∞
и в силу последнего неравенства
(
)
0→
n
BP
при
n
→∞
. Отсюда и из
равенства
() ( )
n
n
BPBP
∞→
=
lim
находим, что Р(В) = 0. Поэтому противоположное
событие
В
, состоящее в том, что наступает конечное число событий
A
n
, n = 1, 2, ...,
имеет вероятность, равную 1,
(
)
1=BP
, что и требовалось
доказать.
Используя лемму Бореля-Кантелли, установим следующий
усиленный вариант закона больших чисел.
Теорема 4 (усиленный закон больших чисел) [9]. Пусть
ХХ
12
, ,...
—
последовательность попарно независимых случайных величин, для которых
MX
i
==
μσ
, DX
i
2
. Тогда при
n
→
∞
1
1
n
X
i
i
n
=
∑
→
μ
с вероятностью 1. 
          Доказательство. Пусть событие Bn состоит в том, что происходит
                                                                ∞
хотя бы одно из событий A k с k ≥ n , т.е. Bn =                UAk .       Очевидно, что
                                                               k=n

B1 ⊃ B2 ⊃.. . Пусть, далее, событие В означает, что происходит бесконечное

число событий из A n , n = 1, 2, ... . Событие В наступает тогда и только тогда,
                                        ∞
когда происходят все Bn , т.е. B = I Bn . Отсюда в силу того, что B1 ⊃ B2 ⊃..
                                       n=1

и   непрерывности       вероятности,        получим:    P (B ) = lim P (Bn )   Поскольку
                                                                n →∞

      ∞                      ∞
Bn = U A k , то P(Bn ) ≤ ∑ P( Ak ) .
                          k =n
     k=n

                         ∞                                             ∞

          Так как ряд   ∑ P( A )
                         n =1
                                 n   сходится, то его остаток          ∑ P( A ) → 0
                                                                       n =1
                                                                               n      при

n → ∞ и в силу последнего неравенства P(Bn ) → 0 при n → ∞ . Отсюда и из
равенства P(B ) = lim
                  n →∞
                       P(Bn ) находим, что Р(В) = 0. Поэтому противоположное

событие В , состоящее в том, что наступает конечное число событий
                                                          ()
A n , n = 1, 2, ..., имеет вероятность, равную 1, P B = 1 , что и требовалось
доказать.
          Используя     лемму        Бореля-Кантелли,       установим          следующий
усиленный вариант закона больших чисел.
          Теорема 4 (усиленный закон больших чисел) [9]. Пусть Х1 , Х2 ,... —
последовательность попарно независимых случайных величин, для которых

MXi = μ , DXi = σ 2 . Тогда при n → ∞

                                         1 n
                                           ∑ Xi → μ
                                         n i=1

с вероятностью 1.




                                             84

Страницы