Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 85 стр.

          Доказательство. Вводя в случае необходимости новые случайные
величины X' = X − μ , можем считать, что μ = 0 . Обозначим через Y
          i    i                                                  k

                                          k
                    k ∑ i
случайную величину Y = X . Нам надо доказать, что при
                                                      n→∞
                                         i =1

(1/ n )Yn → 0
                       Для каждого натурального n возьмем натуральное число m так,
                п.н.
         m 2 ≤ n ≤ (m + 1)
                            2

чтобы                           . Так как MYk = 0 , то неравенство Чебышева дает

                                      ⎛ Ym2   ⎞ DYm2    σ2
                                      ⎜       ⎟
                                     P⎜ 2 > ε ⎟ ≤ 2 4 = 2 2
                                      ⎝m      ⎠ ε m    ε m
       Полагаем
                                    )
                                    Ym 2 =           max              X m 2 + ... + X k
                                                m 2 +1< k <( m +1)2                        .
Снова применяя неравенство Чебышева, получим
             )
           ⎛Y 2     ⎞ (m +1)2 ⎛ X m 2 + ... + X k
          P⎜ 2 > ε ⎟ ≤ ∑ P
              m                 ⎜
                                                    ⎞ (m +1)2 k − m 2 σ 2
                                                  >ε⎟≤ ∑                  ≤
                                                                                               (   )
           ⎜m       ⎟ k =m 2 +1 ⎜     m  2          ⎟ k =m 2 +1 ε 2 m 4
           ⎝        ⎠           ⎝                   ⎠

                                         ≤ 2m
                                              (2m + 1)σ 2                   5σ 2
                                                                          ≤ 2 2
                                                          ε 2m4            ε m
(здесь в сумме 2m слагаемых и (k − m 2 ) ≤ 2m + 1 ). В силу полученных оценок
получаем, что числовые ряды
                                                                               )
                                     ∞     ⎛ Ym2     ⎞                ∞      ⎛Y 2      ⎞
                                     ∑   P ⎜
                                           ⎜ m 2
                                                 > ε ⎟,
                                                     ⎟                ∑    P ⎜
                                                                             ⎜
                                                                                m
                                                                                 2
                                                                                   > ε ⎟
                                                                                       ⎟
                                     m =1 ⎝          ⎠                m =1
                                                                             ⎝m        ⎠
сходятся, а тогда на основании леммы Бореля-Кантелли заключаем, что с
                                                              ⎛ Ym2 ⎞
                                                              ⎜ 2 >ε⎟
вероятностью 1 может произойти только конечное число событий ⎜⎝ m   ⎟
                                                                    ⎠

   ⎛ Yˆ 2 ⎞
   ⎜ m >ε⎟
и ⎜⎝ m    ⎟ , т.е. согласно критерию сходимости п.н. с вероятностью 1
        2
          ⎠



                                                          85