Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

87
Теорема 7 (Марков) [9]. Если последовательность случайных
величин
Х
1
,, Х ...
2
такова, что
MX
i
=
μ
и
0
1
1
2
→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∑
=
n
i
i
XD
n
при
n
→
∞
, то
при
n
→∞
Y
n
X
ni
i
n
=→
=
∑
1
1
μ
по вероятности.
Доказательство. Положим
ξμ
ni
i
n
n
X=−
=
∑
1
1
. Тогда
M
n
ξ
=
0
,
0
1
1
2
→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∑
=
n
i
in
XD
n
D
ξ
при
n
→
∞
и согласно лемме 1 получаем утверждение
теоремы.
Пример. Рассмотрим схему независимых испытаний: при каждом
испытании полная группа событий состоит из
A
1
,, A ..., A
2r
, и вероятность
наступления при каждом испытании события
A
i
равна
p
i
,
p
i
≥ 0
,
pp
r1
1+
+
=...
. Пусть
(
)
riY
i
n
...,,2,1, =
случайная величина, равная
числу наступлений события
A
i
в серии из n испытаний, тогда частота
(
)
nY
i
n
/
появлений события
A
i
при
n
→
∞
сходится по вероятности к
p
i
, i = 1, 2, ..., r
. Действительно, пусть
X
k
— число наступлений
A
i
в k-м
испытании,
X
k
= 0
или 1 с вероятностями соответственно
1− p
i
и
p
i
.
Поэтому
)
)
,1,
2
2
2
iiiikkkik
ppppMXMXDXpMX −=−=−==
а
()
∑
=
=
n
k
k
i
n
XY
1
Применяя теорему Чебышева, получим
(
)
rinp
n
Y
i
p
i
n
...,,2,1,, =∞→⎯→⎯
. 
          Теорема 7 (Марков)                 [9]. Если последовательность случайных
                                            1 ⎛ n       ⎞
                                               D⎜ ∑ X i ⎟ → 0
величин Х1 , Х2 , ... такова, что MXi = μ и n ⎝ i =1 ⎠
                                             2
                                                              при n → ∞ , то

              1 n
при n → ∞ Yn = ∑ Xi → μ по вероятности.
              n i =1

                                                             1 n
          Доказательство.          Положим              ξ n = ∑ Xi − μ .         Тогда          Mξ n = 0 ,
                                                             n i=1

         1 ⎛ n       ⎞
Dξ n =      D⎜ ∑ X i ⎟ → 0
          2
         n ⎝ i =1 ⎠        при n → ∞ и согласно лемме 1 получаем утверждение
теоремы.
          Пример. Рассмотрим схему независимых испытаний: при каждом
испытании полная группа событий состоит из A1 , A 2 , ..., A r , и вероятность
наступления         при        каждом            испытании               события     Ai            равна

                                         Yn(i ) , i = 1, 2, ..., r
pi , pi ≥ 0 , p1 +...+ p r = 1 . Пусть                               случайная величина, равная
                                                                                                    Yn(i ) / n
числу наступлений события A i в серии из n испытаний, тогда частота
появлений       события       Ai       при      n→∞            сходится     по     вероятности              к
pi , i = 1, 2, ..., r . Действительно, пусть X k — число наступлений A i в k-м

испытании, X k = 0 или 1 с вероятностями соответственно 1− pi и pi .
Поэтому
                                                                                                   n
         MX k = pi , DX k = MX − (MX k ) = pi − p = pi (1 − pi ), а Yn = ∑ X k
                                   2                2                2                   (i )
                                   k                                 i
                                                                                                  k =1

         Применяя теорему Чебышева, получим
                               Yn(i )
                                      ⎯⎯→
                                        p
                                          pi , n → ∞, i = 1, 2, ..., r .
                                n




                                                   87

Страницы