Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

89
если Х – дискретная случайная величина,
x
k
— ее значения, а
p
k
—
соответствующие вероятности, k = 1, 2, …, либо как абсолютно сходящийся
интеграл
() ( )
,dxxpetf
itX
X
∫
∞
∞−
=
(3)
если Х – непрерывная случайная величина с плотностью р(х). Хотя интеграл
(1) представляет собой интеграл Стильтьеса, мы не будем опираться на его
специфические свойства и будем рассматривать (1) как краткую запись для
выражений (2) и (3). Все дальнейшие рассуждения проводятся таким
образом, что они одинаково применимы для случаев (2) и (3), ввиду чего
будем использовать
лишь обозначение (1).
Характеристическая функция существует для любой случайной
величины, поскольку ввиду равенства
1=
itx
e
ряд (2) и интеграл (3) сходятся
абсолютно. Очевидно,
()
10
=
X
f
, и
(
)
1≤tf
X
.
Теорема 1. [9] Пусть
X
1
,, X ...,X
2n
— независимые в совокупности
случайные величины. Тогда
(
)
(
)
(
)
tftftf
XXXX
n 111
...
..
=
++
(4)
Доказательство.
()
()
(
)
()
(
)
tftfMeMeeeMMetf
XX
itX
itX
itX
itX
XXit
XX
nnn
n 11
11
1
1
.........
...
..
====
++
++
Здесь мы воспользовались теоремой о математическом ожидании
произведения независимых случайных величин. Независимость
e
itX itX
n1
, ..., e
следует из независимости
X
1
,, X ...,X
2n
.
В доказанной теореме сформулировано основное свойство
характеристических функций, которое используется при доказательстве
центральных предельных теорем [9].
Теорема 2.
(
)
(
)
consttfetf
X
it
X
−=
+
μσσ
μ
μσ
,,
Доказательство. 
если Х – дискретная случайная величина, x k — ее значения, а p k —
соответствующие вероятности, k = 1, 2, …, либо как абсолютно сходящийся
интеграл
                                                         ∞
                                            f X (t ) = ∫ eitX p(x )dx,
                                                        −∞                                                      (3)
если Х – непрерывная случайная величина с плотностью р(х). Хотя интеграл
(1) представляет собой интеграл Стильтьеса, мы не будем опираться на его
специфические свойства и будем рассматривать (1) как краткую запись для
выражений (2) и (3). Все дальнейшие рассуждения проводятся таким
образом, что они одинаково применимы для случаев (2) и (3), ввиду чего
будем использовать лишь обозначение (1).
        Характеристическая функция существует для любой случайной

величины, поскольку ввиду равенства e = 1 ряд (2) и интеграл (3) сходятся
                                     itx



абсолютно. Очевидно, f X (0 ) = 1 , и f X (t ) ≤ 1 .

          Теорема 1. [9] Пусть X1 , X2 , ..., X n — независимые в совокупности
случайные величины. Тогда
                                        f X1+..+ X n (t ) = f X1 (t ) ... f X1 (t )                             (4)
          Доказательство.
                                              (                 )
 f X 1 +..+ X n (t ) = Meit ( X 1 +...+ X n ) = M eitX 1 ...eitX n = MeitX 1 ...MeitX n = f X 1 (t ) ... f X 1 (t )
Здесь      мы      воспользовались                теоремой           о     математическом            ожидании
произведения             независимых                случайных                величин.        Независимость

eitX1 , ..., eitXn следует из независимости X1 , X2 , ..., X n .
          В      доказанной           теореме          сформулировано                 основное        свойство
характеристических функций, которое используется при доказательстве
центральных предельных теорем [9].
          Теорема 2.

                                  f σX + μ (t ) = e itμ f X (σt ), σ , μ − const
          Доказательство.
                                                         89

Страницы