Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

90
() ( )
tfeMeeMetf
X
itXititXit
X
σ
μσμμσ
μσ
===
+
+
)(
Теорема 3. Если существует момент
MX
k
, то k-я производная
(
)
(
)
tf
k
X
характеристическая функция
(
)
tf
X
существует, равномерно непрерывна и
(
)
(
)
kkk
X
MXif =0
.
Рассмотрим несколько примеров х.ф.
1.
Нормальное распределение N ( 0, 1) имеет характеристическую
функцию
()
()
2222
2
2
22
2
1
2
1
txittx
itx
X
edxeedxeetf
−
∞
∞−
−
−−
∞
∞−
===
∫∫
ππ
Если
()
1,0NX ∈
, то
()
(
)
2
,
σαασ
NX ∈+
и согласно теореме 2
(
)
2/
22
tit
X
etf
σα
ασ
−
+
=
.
2.
Характеристическая функция распределения Пуассона
()
()
it
e
k
k
it
k
k
itk
X
ee
k
ee
k
e
etf
λλλ
λ
λ
λ
−
∞
=
−
−
∞
=
===
∑∑
!
1
!
00
3.
Характеристическая функция биномиального распределения
()
() ( )
n
itkn
k
it
n
k
k
n
knkk
n
n
k
itk
X
qneqneCqpCetf +===
−
=
−
=
∑∑
00
.
§ 2. Центральные предельные теоремы
Предварительное понимание содержания центральных предельных
теорем может быть получено следующим образом [9]. Рассмотрим суммы
YX X
nn
=
+
+
1
... , n = 1, 2, ...,
независимых случайных величин, которые принимают целочисленные
значения и все имеют одинаковые распределения 
                     fσX + μ (t ) = Meit (σX + μ ) = eitμ MeitσX = eitμ f X (σt )
        Теорема 3. Если существует момент                                                , то k-я производная f X(k ) (t )
                                                                             MX k

характеристическая функция f X (t ) существует, равномерно непрерывна и
                                                   f X(k ) (0 ) = i k MX k .
        Рассмотрим несколько примеров х.ф.

      1.     Нормальное распределение N ( 0, 1) имеет характеристическую
функцию
                           ∞                            x2                               t2 ∞       (it − x )2                t2
                                        1           −                       1        −                                    −
                f X (t ) = ∫ e itx         e            2
                                                             dx =              e         2
                                                                                              ∫e        2
                                                                                                                 dx = e       2

                           −∞           2π                                  2π                −∞

Если X ∈ N (0, 1) , то (σX + α ) ∈ N α ,σ
                                          2
                                               (             )    и согласно теореме 2

                                               fσX +α (t ) = eitα −σ
                                                                                   2 2
                                                                                    t /2

                                                                                              .
      2.     Характеристическая функция распределения Пуассона

                                               λk e − λ
                                                                            ∑ (λe )
                                  ∞                                          ∞
                                                                                                  1
                     f X (t ) = ∑ e                                                      it k                    it
                                                                       −λ
                                         itk
                                                                 =e                                  = e − λ eλe
                                 k =0              k!                       k =0                  k!

      3.     Характеристическая функция биномиального распределения

                                                                                 ( )                         (                )
                           n                                       n
               f X (t ) = ∑ e C p q                          = ∑ Cnk neit q n − k = neit + q
                                 itk    k      k    n−k                                   k                                    n
                                        n
                          k =0                                    k =0                                                             .




                         § 2. Центральные предельные теоремы
        Предварительное понимание содержания центральных предельных
теорем может быть получено следующим образом [9]. Рассмотрим суммы
                                       Yn = X1 +...+ X n , n = 1, 2, ...,

независимых случайных величин, которые принимают целочисленные
значения         и          все                имеют                        одинаковые                             распределения


                                                             90

Страницы