Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

92
фиксированную кривую
ye
x
=
−
1
2
2
2
π
/
(рис.1), т.е.
()
()
()
2/
*
2
2
1
mx
nn
n
emxYPn
−
≈=
π
σ
при
∞
→n .
При этом очевидно, что
()
()
()
()
()
()
∫
∑∑
−
≤≤
−
≤≤
≈
≈≈==≤≤
b
a
x
bmxa
mx
bmxa
nnn
dxe
n
emxYPbYaP
n
n
n
2/
2/
**
2
2
2
1
1
2
1
π
σπ
где при замене суммы на интеграл мы считали
Δxn= 1/
σ
. Этот факт и
составляет, по существу, содержание центральных предельных теорем
(которые отличаются друг от друга формулировками различных
математических условий, обеспечивающих указанное выше утверждение).
Рассмотрим вначале центральную предельную теорему в ее простейшей
форме: для случая одинаково распределенных случайных величин, а затем
приведем достаточно общую центральную предельную теорему Ляпунова.
Определение 3. Говорят
, что последовательность случайных величин
{}
...,2,1, =kX
k
, сходится к случайной величине Х
0
по распределению или
слабо сходится, если
(
)
(
)
xFxF
k
k
0
lim
=
∞→
в каждой точке непрерывности
(
)
xF
0
, где
(
)
xF
k
— функция распределения
случайной величины
X
k
, k = 0, 1, 2,...
.
Теорема 4 ( центральная предельная теорема). [9] Пусть
{
}
n
X
—
последовательность независимых и одинаково распределенных случайных
величин, для которых
MX
n
==
μσσ
,, DX > 0
n
2
, n=1,2, … Тогда
последовательность 
фиксированную                   кривую                           1 − x2 / 2                       (рис.1),         т.е.
                                                       y=           e
                                                                 2π

σ n P(Yn* = xn (m )) ≈
                                   1 − xn2 (m ) / 2
                                      e             при          n→∞.
                                   2π
        При этом очевидно, что

            (
         P a ≤ Yn* ≤ b =    )                    (
                                    ∑ P Yn* = xn (m) ≈           )          ∑
                                                                                         1 − xn2 (m ) / 2 1
                                                                                            e                ≈
                                a ≤ xn ( m )≤b                           a≤ xn ( m )≤b   2π              σ n
                                                                     b
                                                       1
                                                                     ∫ e dx
                                                                              2
                                                                        −x / 2
                                                     ≈
                                                       2π            a


где при замене суммы на интеграл мы считали Δx = 1/ σ n . Этот факт и
составляет, по существу, содержание центральных предельных теорем
(которые         отличаются             друг         от     друга                 формулировками         различных
математических условий, обеспечивающих указанное выше утверждение).
Рассмотрим вначале центральную предельную теорему в ее простейшей
форме: для случая одинаково распределенных случайных величин, а затем
приведем достаточно общую центральную предельную теорему Ляпунова.
           Определение 3. Говорят, что последовательность случайных величин
{X k }, k = 1, 2, ... ,   сходится к случайной величине Х0 по распределению или
слабо сходится, если
                                                     lim Fk ( x ) = F0 ( x )
                                                     k →∞


в каждой точке непрерывности F0 (x ) , где Fk (x ) — функция распределения
случайной величины                                          .
                                X k , k = 0, 1, 2,...

                                                                                                             {X n }
           Теорема 4 ( центральная предельная теорема). [9] Пусть                                                     —
последовательность независимых и одинаково распределенных случайных

величин,         для      которых            MX n = μ , DX n = σ 2 , σ > 0 ,                   n=1,2,    …       Тогда
последовательность



                                                            92

Страницы