Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

94
()
∑
=
−=
n
k
kn
nXY
1
/
σμ
при
∞
→n
сходится к плотности
()
2/
0
2
2
1
x
exp
−
=
π
равномерно.
Избавимся теперь от нежалательного в ряде вопросов предположения
об одинаковом распределении случайных величин
X
k
и рассмотрим
центральную предельную теорему в форме Ляпунова.
Теорема 6 (центральная предельная теорема Ляпунова) [9]. Пусть
{}
n
X
— последовательность независимых случайных величин с
MX
nn
=
μ
,
DX
nn
=
σ
2
и
MX
nn
−<∞
μ
3
, n = 1, 2, ...
. Тогда, если выполнено условие
Ляпунова
1
0
3
3
1
B
MX
n
kk
k
n
−→ →∞
=
∑
μ
при n,
где
BDX
nk
k
n
k
k
n
=≡
==
∑∑
1
2
1
σ
,
то последовательность
()
n
n
k
kk
n
B
X
Y
∑
=
−
=
1
μ
сходится к N (0, 1) равномерно.
§ 3. Применения центральных предельных теорем
Отметим прежде всего случай, когда нельзя применять центральные
предельные теоремы. Пусть мы хотим оценить вероятность
{}
xYP
n
<
, причем
речь идет о тех х, при которых эта вероятность близка к нулю или единице.
Если мы заменим
{}
xYP
n
<
на
(
)
x
0
Φ
, то ошибка может быть очень большой
(порядка сотен процентов) ввиду того, что хотя разность
{}
()
xn
xYP
0
Φ
−
<
и
будет равномерно малой при всех х, но неверно, что отношение
{}
()
1/
0
→Φ<
xn
xYP
равномерно по х, т.е. “хвосты” распределения требуют
очень осторожной оценки. 
          n
                                                                                     1 − x2 / 2
Yn = ∑ ( X k − μ ) / σ n            при n → ∞ сходится к плотности p0 (x ) =            e
         k =1                                                                        2π
равномерно.
                Избавимся теперь от нежалательного в ряде вопросов предположения
об одинаковом распределении случайных величин X k и рассмотрим
центральную предельную теорему в форме Ляпунова.
                Теорема 6 (центральная предельная теорема Ляпунова) [9]. Пусть
{X n }
              — последовательность независимых случайных величин с MX n = μ n ,
                                     3
DX n = σ 2n и M X n − μ n < ∞, n = 1, 2, ... . Тогда, если выполнено условие

Ляпунова
                                            n
                                     1
                                        ∑ M Xk − μ k
                                                                3
                                                                    → 0 при n → ∞,
                                     B3  n k =1

                   n          n
где Bn =          ∑ DX k ≡   ∑ σ 2k , то последовательность
                  k =1       k =1

                                                          n

                                                         ∑ (X       k   − μk )
                                                  Yn =   k =1

                                                                    Bn

сходится к N (0, 1) равномерно.


                         § 3. Применения центральных предельных теорем
           Отметим прежде всего случай, когда нельзя применять центральные
предельные теоремы. Пусть мы хотим оценить вероятность P{Yn < x} , причем
речь идет о тех х, при которых эта вероятность близка к нулю или единице.
Если мы заменим P{Yn < x} на Φ 0 (x ) , то ошибка может быть очень большой

(порядка сотен процентов) ввиду того, что хотя разность P{Yn < x} − Φ 0 ( x ) и
будет равномерно малой при всех х, но неверно, что отношение
P{Yn < x}/ Φ 0 ( x ) → 1 равномерно по х, т.е. “хвосты” распределения требуют

очень осторожной оценки.

                                                         94

Страницы