Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 93 стр.

                                               n

                                              ∑ (X        k   − μ)
                                       Yn =   k =1

                                                     σ n                                                         (5)
сходится по распределению к N (0, 1), т.е.
                                                                x
                                                          1
                             lim P(Yn < x ) =                   ∫e
                                                                     −z2 / 2
                                                                               dz
                             n →∞                         2π   −∞                   ,                            (6)
причем стремление к пределу в (6) равномерно по х.
         Следствие ( интегральная предельная теорема Муавра—Лапласа)
[9]. Пусть Х – число успехов в серии из n независимых испытаний, р –
вероятность успеха при каждом испытании. Тогда при n → ∞
                                  ⎛ X − np    ⎞   1
                                                                           x
                             lim P⎜        < x⎟ =                          ∫e
                                                                                    2
                                                                              −z        /2
                                                                                             dz
                             n →∞ ⎜           ⎟   2π
                                  ⎝ npq       ⎠                          −∞                       ,              (7)
причем стремление к пределу равномерно по х.
        Доказательство. Имеем                                          , где X k — число успехов при
                                         X = X1 +...+ X n

k-м испытании, так что X k                    независимы и одинаково распределены
P( X k = 1) = p , P( X k = 0) = q ,           ,          . Подставляя эти значения в
                                      MX k = p DX k = pq

(5), получим на основании теоремы 4 равенство (7).
       Естественно ожидать, что если в условиях теоремы 4 функция
распределения F(x) случайных величин X k                                       имеет плотность р(х), то

плотность pn ( x ) случайной величины Yn должна сходиться при n → ∞ к
плотности p0 (x ) нормального распределения. Вообще говоря, это неверно,
но во всех практически интересных случаях высказанное утверждение имеет
место, точнее, справедлива
        Теорема 5. [9] Пусть выполнены условия теоремы 4, и кроме того,
характеристическая функция ϕ (t ) случайных величин                                                   Xk   абсолютно
интегрируема.         Тогда           плотность                 pn ( x )            случайной              величины




                                                     93