Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 95 стр.

       Вероятность и частота. Пользуясь теоремой 6, оценим, насколько
сильно может отличаться частота от вероятности в серии из n испытаний
Бернулли. Оценка основана на соотношении

                           ⎛Y           ⎞    ⎛ Y − np                                      n ⎞⎟
                         P⎜⎜ n − p > ε ⎟⎟ = P⎜ n      >ε                                         ≈
                           ⎝ n          ⎠    ⎜ npq                                         pq ⎟⎠
                                             ⎝
                                  n
                         −ε
                                               x2                           x2
                  1
                                  pq
                                           −             1
                                                                   ∞
                                                                        −                   ⎛        n ⎞
                ≈
                  2π
                              ∫
                              −∞
                                       e       2
                                                    dx +
                                                         2π
                                                                   ∫e       2
                                                                                 dx = 2Φ 0 ⎜⎜ − ε
                                                                                            ⎝
                                                                                                         ⎟
                                                                                                     pq ⎟⎠
                                                                   n
                                                              ε
                                                                   pq


Yn — число успехов при n испытаниях.

       Поскольку при p + q = 1, очевидно, pq ≤ 1 / 4 , эта вероятность не

                   (
превосходит 2Φ 0 − 2ε n . Поэтому  )
                ⎛Y           Y      ⎞             ⎛
               P⎜ n − ε < p < n + ε ⎟ ≈ 1 − 2Φ 0 ⎜⎜ − ε
                                                                                      n ⎞
                                                                                                        (
                                                                                          ⎟ ≥ 1 − 2Φ 0 − 2ε n
                                                                                      pq ⎟⎠
                                                                                                                 )
                ⎝n            n     ⎠             ⎝                                                           .

      Таким образом, зная число успехов                                            в n испытаниях Бернулли, мы
                                                                            Yn

                                                      ⎛ Yn      Y      ⎞
можем построить интервал ⎜                                 − ε , n + ε ⎟ , который будет накрывать
                                                      ⎝n         n     ⎠
истинное ( неизвестное) значение вероятности р с любой заданной
вероятностью     1−α .        Для этого следует лишь выбрать                                                 ε = ε (α )   из

соотношения              (
                  2Φ 0 − 2ε n = α ,             )             пользуясь                  таблицами           нормального
распределения. Тогда
                                    ⎛Y          ⎞       ⎛Y          ⎞
                                   P⎜ n − ε (α )⎟ < p < ⎜ n + ε (α )⎟ = 1 − α
                                    ⎝n          ⎠       ⎝n          ⎠
                  ⎛ Yn          Y          ⎞
      Интервал ⎜       − ε (α ), n + ε (α )⎟ называется доверительным интервалом
                  ⎝n             n         ⎠
для р с уровнем доверия 1 − α .
       Среднее         арифметическое.                        Пусть                Х1 , Х2 , ...      —      независимые

случайные величины, MX k = μ , DX k = σ 2 для всех k. Закон больших чисел

утверждает, что при n → ∞

                                                              95