Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

88
Глава 5
Центральные предельные теоремы
Утверждения, полученные в форме законов больших чисел,
представляют собой заключения о сходимости последовательности
случайных величин
{}
...,,2,1,
=
nX
n
к некоторой случайной (или неслучайной)
величине Х[9].
Эти утверждения не дают нам никакой информации о том, как
аппроксимировать распределение случайных величин
X
n
при больших n.
Ответ на этот вопрос дают так называемые центральные предельные
теоремы, в которых речь идет о новом виде сходимости последовательности
случайных величин – сходимости по распределению. Основным аппаратом,
используемым при изучении центральных предельных теорем, является
аппарат характеристических функций, играющий важную роль и в других
разделах теории вероятностей.
§ 1. Характеристические функции
Определение 1. Характеристической функцией случайной величины Х
называется функция
()
tf
X
вещественной переменной t, определенная
равенством [9]
() ( )
., ∞<<∞−==
∫
∞
∞−
txdFeMetf
X
itXitX
X
(1)
Вообще, если
ξ
— комплексная случайная величина
ξ
=+XiY
, где Х и
Y – действительные случайные величины, то по определению
MMXiMY
ξ
=
+
.
В определении (1) интеграл понимается либо как сумма абсолютно
сходящегося ряда
()
,
1
k
itX
k
X
petf
∑
∞
=
=
(2) 
                                                 Глава 5
                          Центральные предельные теоремы
       Утверждения, полученные в                        форме   законов больших чисел,
представляют      собой    заключения              о     сходимости     последовательности
случайных величин {X n }, n = 1, 2, ..., к некоторой случайной (или неслучайной)
величине Х[9].
                 Эти утверждения не дают нам никакой информации о том, как
аппроксимировать распределение случайных величин X n при больших n.
Ответ на этот вопрос дают так называемые центральные предельные
теоремы, в которых речь идет о новом виде сходимости последовательности
случайных величин – сходимости по распределению. Основным аппаратом,
используемым при изучении центральных предельных теорем, является
аппарат характеристических функций, играющий важную роль и в других
разделах теории вероятностей.


                          § 1. Характеристические функции
       Определение 1. Характеристической функцией случайной величины Х
называется функция        f X (t ) вещественной переменной t, определенная
равенством [9]
                                            ∞
                    f X (t ) = Me   itX
                                          = ∫ e itX dFX (x ), − ∞ < t < ∞.             (1)
                                            −∞

      Вообще, если ξ — комплексная случайная величина ξ = X + iY , где Х и

Y – действительные случайные величины, то по определению
                                           Mξ = MX + iMY.

      В определении (1) интеграл понимается либо как сумма абсолютно
сходящегося ряда
                                                 ∞
                                     f X (t ) = ∑ eitX pk ,
                                                 k =1                                  (2)



                                                 88

Страницы