Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

86
Y
m
Y
m
mm
22
22
00→→→∞ и при n.
$
Поскольку для любого n из сегмента
(
)
2
2
1+≤≤ mnm
Y
n
Y
m
Y
m
n
mm
≤+
22
22
$
,
то
Yn
n
/ → 0
при
n
→∞
с вероятностью 1.
Простым следствием доказанной теоремы является усиленный закон
больших чисел Бернулли.
Теорема 5 (Борель) [9]. Пусть
Y
n
— число успехов в серии из n
независимых испытаний Бернулли, р – вероятность успеха при каждом
испытании. Тогда последовательность частот
{
}
nY
n
/
при
n
→∞
сходится с
вероятностью 1 к вероятности р.
Доказательство. Достаточно ввести случайные величины
X
i
, равные
числу успехов в i-м испытании,
X
i
=
10,
,
MX p
i
=
,
DX pq
i
=
;
YX
ni
i
n
=
=
∑
1
и
применить теорему 4 к
Y
n
.
Рассмотрим теперь один важный вариант закона больших чисел,
принадлежащий Хинчину. В этом варианте не требуется существования
дисперсий случайных величин.
Теорема 6 (Хинчин) [9]. Пусть одинаково распределенные случайные
величины
ХХ
12
, ,...
попарно независимы и имеют конечное математическое
ожидание
MX
i
=
μ
. Тогда при
n
→
∞
Y
n
X
nk
k
n
=
=
∑
1
1
сходится по вероятности
к
μ
μ
, Y
n
→
p
.
Докажем теперь следующую теорему, в которой отсутствует
предположение о попарной независимости случайных величин. 
                          Ym2          $ 2
                                       Ym
                                →0 и         → 0 при n → ∞.
                          m2           m2

      Поскольку для любого n из сегмента m 2 ≤ n ≤ (m + 1)
                                                          2




                                Yn  Ym2 Y$ 2
                                   ≤ 2 + m2 ,
                                 n  m    m

то Yn / n → 0 при n → ∞ с вероятностью 1.
        Простым следствием доказанной теоремы является усиленный закон
больших чисел Бернулли.
        Теорема 5 (Борель) [9]. Пусть Yn — число успехов в серии из n
независимых испытаний Бернулли, р – вероятность успеха при каждом
                                                 {Yn / n}
испытании. Тогда последовательность частот                  при n → ∞ сходится с
вероятностью 1 к вероятности р.
        Доказательство. Достаточно ввести случайные величины Xi , равные
                                                                          n
числу успехов в i-м испытании, Xi = 1,0 , MXi = p , DXi = pq ; Yn = ∑ Xi и
                                                                         i =1

применить теорему 4 к Yn .
        Рассмотрим теперь один важный вариант закона больших чисел,
принадлежащий Хинчину. В этом варианте не требуется существования
дисперсий случайных величин.
        Теорема 6 (Хинчин) [9]. Пусть одинаково распределенные случайные
величины Х1 , Х2 ,... попарно независимы и имеют конечное математическое

                                              1 n
ожидание MXi = μ . Тогда при n → ∞ Yn =         ∑ Xk сходится по вероятности
                                              n k =1

к μ , Yn → μ .
         p

        Докажем теперь следующую теорему, в которой отсутствует
предположение о попарной независимости случайных величин.


                                       86

Страницы