Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

83
т.е.
() ()
ω
ω
XX
n
→
при
n
→
∞
для всех
ω
∈
Ω
, за исключением, быть может,
множества
С ⊂Ω
нулевой вероятности, P(C) = 0. Эта сходимость
обозначается так:
XX
n
→
п.н.
Согласно этому определению для каждого
ω
∈
Ω \C
и любого
ε
> 0
() ()
εωω
≤− XX
n
для всех достаточно больших n. Поэтому если обозначить
через
A
n,
ε
событие
)
)
)
εωωω
ε
>−Ω∈= XXA
nn
:
,
, n = 1, 2, …, то для
любого
ε
> 0
с вероятностью 1 происходит лишь конечное число событий
A
n,
ε
. Оказывается, что это условие является и достаточным для сходимости
с вероятностью 1. Действительно, возьмем
ε
=
1/ k
и обозначим через
B
k
событие, состоящее в том, что происходит лишь конечное число событий из
() ()
()
kXXA
nkn
/1:
/1,
>−Ω∈=
ωωω
, n = 1, 2, … . По условию
()
1=
k
BP
, k = 1, 2,
… Очевидно, что события
B
k
, k = 1, 2, …, образуют монотонно убывающую
последовательность:
BBB
123
⊃
⊃
⊃
...
. Обозначим через В событие
BB
k
k
=
=
∞
1
I
. В силу непрерывности вероятности
(
)()
1lim =
=
∞→
k
k
BPBP
, так как
все
()
1=
k
BP
. Из определения события В следует, что В состоит из всех таких
ω
∈Ω
, для которых
()
)
ω
ω
XX
n
→
при
n
→
∞
. Итак, Р(В) = 1, и высказанное
выше утверждение доказано. Таким образом,
XX
n
→
п.н. тогда только тогда,
когда для любого
ε
> 0
вероятность того, что осуществляется лишь конечное
число событий
XX
n
−>
ε
, n = 1, 2, ...
, равна 1.
Лемма 2 (Бореля-Кантелли) [9]. Если для последовательности
{
}
n
A
произвольных событий
A
n
, n = 1, 2, ...
, выполнено условие
()
∞<
∑
∞
=1n
n
AP
то с вероятностью 1 происходит лишь конечное число этих событий. 
т.е. X n (ω ) → X (ω ) при n → ∞ для всех ω ∈Ω , за исключением, быть может,
множества        С⊂Ω      нулевой вероятности, P(C) = 0. Эта сходимость
обозначается так: X n → X п.н.
            Согласно этому определению для каждого ω ∈Ω \ C и любого ε > 0
X n (ω ) − X (ω ) ≤ ε для всех достаточно больших n. Поэтому если обозначить

через A n,ε событие An ,ε = (ω ∈ Ω : X n (ω ) − X (ω ) > ε ) , n = 1, 2, …, то для

любого ε > 0 с вероятностью 1 происходит лишь конечное число событий
A n,ε . Оказывается, что это условие является и достаточным для сходимости

с вероятностью 1. Действительно, возьмем ε = 1/ k и обозначим через Bk
событие, состоящее в том, что происходит лишь конечное число событий из
An ,1/ k = (ω ∈ Ω : X n (ω ) − X (ω ) > 1 / k ) , n = 1, 2, … . По условию P(Bk ) = 1 , k = 1, 2,

… Очевидно, что события Bk , k = 1, 2, …, образуют монотонно убывающую
последовательность:         B1 ⊃ B2 ⊃ B3 ⊃... .          Обозначим     через     В    событие
     ∞
B=   I Bk .    В силу непрерывности вероятности P(B ) = lim
                                                        k →∞
                                                             P(Bk ) = 1 , так как
     k =1

все P(Bk ) = 1. Из определения события В следует, что В состоит из всех таких
ω ∈Ω , для которых X n (ω ) → X (ω ) при n → ∞ . Итак, Р(В) = 1, и высказанное
выше утверждение доказано. Таким образом, X n → X п.н. тогда только тогда,
когда для любого ε > 0 вероятность того, что осуществляется лишь конечное
число событий X n − X > ε , n = 1, 2, ... , равна 1.

            Лемма 2 (Бореля-Кантелли) [9]. Если для последовательности {An }
произвольных событий A n , n = 1, 2, ... , выполнено условие
                                            ∞

                                           ∑ P( A ) < ∞
                                            n =1
                                                     n



то с вероятностью 1 происходит лишь конечное число этих событий.



                                                83

Страницы