Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 81 стр.

при n → ∞ ( в силу попарной независимости Xi
                         n                   n                 n

                        ∑ ( X i − MX i ) = ∑ D( X i − MX i ) = ∑ DX i )
                        i =1                i =1              i =1


Отсюда на основании леммы 1 следует утверждение теоремы.
        Теорему Чебышева можно записать и в виде
                          ⎛1 n     1 n          ⎞
                    lim P⎜⎜ ∑ X i − ∑ MX i ≤ ε ⎟⎟ = 1, ε > 0 — любое.
                    n →∞
                          ⎝ n i =1 n i =1       ⎠
        Следствие. Пусть в условиях теоремы Чебышева случайные
величины       Xi      имеют          одинаковые     математические          ожидания:

                                                                         1 n
MX1 = MX2 =... = μ .         Тогда      последовательность           Yn = ∑ Xi    при
                                                                         n i =1

n → ∞ сходится по вероятности к математическому ожиданию μ :

                                         1 n
                                     Yn = ∑ Xi → μ , n → ∞.
                                         n i =1 р      p


        Это следствие теоремы Чебышева служит обоснованием правила
среднего арифметического, применяемого в теории измерений, которое
сводится к тому, что, повторив n раз измерение величины μ и получив в
качестве результатов случайные величины X1 , X2 , ..., X n , за приближенное
значение μ принимают среднее арифметическое из наблюденных значений
)    1
μ=     ( X 1 + X 2 + ... + X n ) . Если при измерениях отсутствует систематическая
     n
ошибка (т.е. все MXi = μ , i = 1, 2, …, n), то согласно закону больших чисел
при достаточно больших n с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, будет
получен результат μ$ , произвольно мало отличающийся от истинного

значения μ .
        Важнейшим следствием закона больших чисел Чебышева является




                                            81