Составители:
Рубрика:
175
Матрицы L
3
, L
4
определяют евклидово вращение (таблица 4, приложение
2), инвариантные точки которого гармонически сопряжены относительно
собственных координатных вершин.
Следовательно, каждое абсолютное псевдодвижение является или
гомотетией, или скользящей гомотетией, или евклидовым вращением.
Более подробно преобразования, заданные матрицами (50) – (53),
исследуем при конструктивном определении копсевдоевклидовых
преобразований (§6).
Обратим внимание на тот факт, что абсолютными движениями и
абсолютными псевдодвижениями второго
рода преобразования являются
только в определенном каноническом репере.
Непосредственная проверка доказывает справедливость следующих
теорем.
Теорема 10. Все абсолютные движения образуют группу.
Теорема 11. Все абсолютные движения и абсолютные псевдодвижения
образуют группу.
4.5 Дополнительные теоремы о линейных преобразованиях
копсевдоевклидовой плоскости
Следующие две теоремы характеризуют преобразования первого рода
копсевдоевклидовой плоскости.
Теорема 12. Пусть в преобразовании H копсевдоевклидовой плоскости
М' – образ произвольной точки М. Если расстояние ММ' постоянно, то есть
не зависит от выбора точки М, то Н – преобразование первого рода.
Доказательство. Пусть в некотором каноническом репере R
преобразования копсевдоевклидовой плоскости заданы матрицей (1), а точка
М – однородными координатами (x
1
: x
2
: x
3
), тогда однородные координаты
точки М' в том же репере имеют вид:
(
)
333232131211112212111
:: xaxaxaxaxaxaxaM
+
+
+
+
′
ε
ε
. (54)
По формуле (19) главы 1
(
)
()
2
12
2
11
2
2
2
1
2
2112112
2
111
1
aaxx
xaxxaxa
MMch
−−
−−+
=
′
εε
. (55)
Так как ММ' – const, то правая часть равенства (55) не должна зависеть
от переменных x
1
, x
2
, то есть необходимо иметь тождество
(
)
,
1
2
2
2
1
2
2112112
2
111
λ
εε
=
−
−−+
xx
xaxxaxa
где
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- …
- следующая ›
- последняя »
