Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 177 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

176
,
2
12
2
11
aaMMch −
′
=
λ
из которого получаем
()
(
)
(
)
01
211211
2
211
2
1
=−+−+−
εελλ
xxaaxax
.
Последнее равенство является тождественным при выполнении
условий:
λ
=
11
a
,
λ
ε
=
11
a
,
(
)
01
12
=
−
ε
a
, то есть при ε = 1.
Что и требовалось доказать.
Формула (55) при 1=
ε
имеет вид
2
12
2
11
11
aa
a
MMch
−
=
′
. (56)
Таким образом, справедлива теорема.
Теорема 13. Если М' – образ точки М в преобразовании первого рода
коевклидовой плоскости, заданном матрицей (1) при ε = 1, то имеет место
равенство (56).
В теореме 3 для каждого преобразования второго рода установлено
наличие двух инвариантных ортогональных друг другу изотропных прямых.
Следующая теорема дает еще одно свойство преобразований второго рода.
Теорема 14. Каждая точка копсевдоевклидовой плоскости со своим
образом в любом преобразовании второго рода гармонически разделяет пару
инвариантных изотропных прямых преобразования.
Доказательство. Образом точки M (m
1
: m
2
: m
3
) в преобразовании второго
рода, заданном матрицей (1) при ε = – 1, является точка М' (4).
Пусть прямая ММ' пересекает неподвижные изотропные прямые t
1
, t
2
преобразования в точках Т
1
, Т
2
соответственно. Выражение (6) определяет
зависимости двух первых координат точек Т
1
, Т
2
.
Найдем сложное отношение четырех точек Т
1
, Т
2
, М, М'.
()
.1
21
12
2
12
2
1111
211112212111
12
2
12
2
1111
211112212111
12
2
12
2
1111
21
12
2
12
2
1111
21
−=
−−−
−−+
−+−
−−+
−−−−+−
=
′
mm
aaaa
mamamama
aaaa
mamamama
aaaa
mm
aaaa
MMTT
Следовательно, точки M, M' гармонически разделяют инвариантные
изотропные прямые t
1
, t
2
. Что и требовалось доказать.
4.6 Конструктивное определение преобразований
Найдем определяющие элементы преобразований копсевдоевклидовой
плоскости и способ построения образов фигур в преобразовании.

Страницы