Составители:
Рубрика:
178
Если прямые t и u параллельны, то прямая u проходит через одну из
точек K
1
, K
2
пересечения прямой t соответственно с прямой l
1
, l
2
абсолюта,
например, через точку K
2
. Тогда вторая несобственная точка U прямой u,
точка ее пересечения с прямой l
1
, также инвариантна в данном
преобразовании. Поэтому условие 2 для точки U принимает вид:
∠
(N
2
U) t = k ∠(N
1
U) t,
где k – произвольно заданное, не зависящее от выбора точек N
1
, N
2
положительное число. Но для параллельных прямых UN
1
, UN
2
согласно
теореме 4 главы 2 отношение мер углов (N
2
U) t и (N
1
U) t вполне определено
заданием точек N
1
, N
2
.
Полученное противоречие доказывает, что прямая t – единственная
неподвижная прямая в данном преобразовании. Следовательно,
преобразование указано в первой строке таблицы 3 (приложение 2).
Назовем данное преобразование поворотным отражением первого вида
с коэффициентом k от неизотропной прямой t. Обозначение:
Ik
t
R
.
Получим каноническую матрицу введенного преобразования.
Пусть в каноническом репере R поворотное отражение первого вида
задано матрицей (1) при ε = 1, а данные точки N
1
, N
2
– координатами:
N
1
(n: 1:0), N
2
(1:0:0). То есть репер выбран таким образом, что координатная
прямая А
1
А
2
совпадает с данной прямой. Тогда инвариантность этой прямой
(x
3
= 0) определяет нулевые значения коэффициентов а
31
, а
32
матрицы
преобразования. Поэтому первое условие определения поворотного
отражения первого вида каждой точке M (m
1
: m
2
: m
3
) копсевдоевклидовой
плоскости ставит в соответствие точку М' (m
2
– nm
1
: m
1
– nm
2
: a
33
m
3
).
Прямые N
1
М и N
2
М' в репере R имеют соответственно уравнения:
(
)
,0
3212313
=
−
+
+− xnmmxnmxm
(57)
(
)
.0
3122333
=
−
+
xmnmxma
(58)
Определим меры углов, образованных прямой t с прямыми N
1
М и N
2
М'.
()
,
1
00)(
21
2
3
2
21
3
2
21
3
1
nmm
nm
nmm
nm
nmm
m
tMN
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+=∠
(59)
()
()
.000)(
21
333
2
12
333
2
2
nmm
mai
mnm
ma
tNM
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−−=
′
∠
(60)
Точки N
1
, N
2
принадлежат одному (первому) абсолютному углу,
следовательно, n
2
– 1 > 0. Равенства (59), (60) и второе условие определения
поворотного отражения первого вида приводят к условию:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- …
- следующая ›
- последняя »
