Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 180 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

179
.1
2
33
−= nka
(61)
Таким образом, матрица поворотного отражения первого вида с
коэффициентом k в достаточно удобно выбранном каноническом репере
может иметь вид:
.
100
01
01
2
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−±
−
−
nk
n
n
(62)
Каждое требование условия 3 в определении поворотного отражения
первого вида однозначно задает знак «+», или «–» в матрице (62).
Действительно, если точки M,
М' принадлежат одному квадранту
(различным квадрантам) относительно прямой t, то для их координат
согласно условию (30) главы 1 выполняется соответствующее неравенство:
()
,01
33
<
+na
(
)
(
)
01
33
>
+
na
(63)
Из условий (61), (63) учитывая, что k > 0 и
1
2
−n
> 0, получаем в
матрице (62) в случае принадлежности точек M,
М' одному квадранту
относительно прямой t знак «+» при n < –1, и знак «–» при n > –1. В случае
принадлежности точек M,
М' различным квадрантам относительно прямой t
– знак «+» при n > –1, и знак «–» при n < –1.
Матрица (62) задает движение копсевдоевклидовой плоскости при k =1 и
|n| > 1.
Точки N
1
, N
2
принадлежат одному абсолютному углу, следовательно, в
матрице (62) n ≠ 0. При этом условии матрица (62) не может иметь вид ни
одной из матриц H
1
, H
2
(50). Таким образом, абсолютных движений среди
поворотных отражений первого вида от неизотропной прямой нет.
2. Поворотное отражение второго вида
Выберем некоторую неизотропную прямую t и на ней пару точек N
1
, N
2
,
принадлежащих соответственно второму и первому абсолютным углам.
Каждой точке M копсевдоевклидовой плоскости и мнимому с положительной
мнимой частью числу k поставим в соответствие такую точку М' этой
плоскости, что:
1) |MM'| = |N
1
N
2
|, то есть (l
1
l
2
(PМ)(PМ')) = (l
1
l
2
(PN
1
)(PN
2
));
2) ∠(N
2
М') t = k ∠(N
1
М) t;
3) точки М', M
1
(М', M
2
) принадлежат одному квадранту относительно
прямой t, где М
i
– точка пересечения прямой K
i
M, i =1, 2, с изотропной
прямой, гармонически разделяющей с прямой PM абсолютные прямые.
По условию 1 для каждой точки M плоскости определена единственная
изотропная прямая m', проходящая через точку М'.

Страницы