Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 182 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

181
.1
2
33
nika −−=
(64)
Если точки М', M
1
(М', M
2
) принадлежат одному квадранту относительно
прямой t, то в соответствии с неравенством (30) главы 1 для матрицы (62)
получаем первое (второе) неравенство из (63). Учитывая, что при |n| < 1
всегда выполняется неравенство n > –1, необходимо иметь а
33
< 0 (а
33
> 0),
поэтому случаю принадлежности точек М', M
1
(М', M
2
) одному квадранту
относительно прямой t в матрице (62) соответствует знак «+» («–»).
Матрица (62) задает псевдодвижение копсевдоевклидовой плоскости
при |n| < 1 и k = i. Абсолютных псевдодвижений среди поворотных
отражений второго вида от неизотропной прямой нет.
Применяя теоремы 5, 13, можно показать, что каждое преобразование,
указанное в первой строке таблицы 3 (приложение 2) преобразований
копсевдоевклидовой плоскости, является поворотным отражением от
неизотропной прямой либо первого, либо второго вида.
3. Гомотетия относительно пучка параллельных прямых
Пусть заданы две неизотропные параллельные прямые a, b и некоторое
действительное число λ (λ ≠ 0, λ ≠ 1). Пучок прямых, параллельных прямым
a, b, будем обозначать (a, b).
Гомотетией
∗
относительно пучка (a, b) с коэффициентом λ назовем
преобразование
λ
),( ba
Н
копсевдоевклидовой плоскости, которое каждой точке
М плоскости ставит в соответствие такую точку М', что:
1)
прямая ММ' принадлежит пучку (a, b);
2)
|MM'| =
λ
ln
, то есть прямые абсолюта разделяют изотропные
прямые (РМ), (РМ') в отношении λ: ((PM)(PM') l
1
l
2
) = λ.
Условия 1, 2 при λ ≠ 0 определяют взаимно однозначное отображение
копсевдоевклидовой плоскости на себя. Заметим, что в определении
гомотетии λ ≠ 1, то есть изотропные прямые (РМ), (РМ') – различные,
следовательно, гомотетия не является тождественным преобразованием.
Если λ > 0, то по условию 2 при гомотетии с коэффициентом λ каждая
точка плоскости принадлежит одному абсолютному
углу со своим образом,
если λ < 0, то точка и ее образ принадлежат различным абсолютным углам.
Следовательно, при λ > 0 (λ < 0) гомотетия является преобразованием
первого (второго) вида.
Найдем аналитическую запись гомотетии относительно пучка
параллельных прямых с коэффициентом λ.
По теореме 12 гомотетия является преобразованием первого рода, так
как расстояние между точками и их
образами в данном преобразовании
постоянно.
∗
Напомним, что термин гомотетия образован от греческих слов: «
οµος
» - равный,
одинаковый, «
θετος
» - установленный, расположенный.

Страницы