Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 184 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

183
Положим
1
11
+=
λ
a
, тогда если S принадлежит первой прямой
абсолюта (в равенствах (69) это условие соответствует верхнему знаку),
имеем:
(
)
2,1,1
33323112
=
−
=
=
−= asaaa
λ
λ
,
если S лежит на второй абсолютной прямой (нижний знак в (69)), имеем:
(
)
λ
λ
λ
2,1,1
33323112
=
−
=
−
=
−= asaaa
.
Следовательно, матрицы преобразования имеют соответственно вид:
,
2)1()1(
011
011
1
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
+−
−+
=
λλ
λλ
λλ
ss
G
.
2)1()1(
011
011
2
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
+−
−+
=
λλλ
λλ
λλ
ss
G
(70)
Гомотетия относительно пучка параллельных прямых представлена в
третьей строке таблицы 3 преобразований копсевдоевклидовой плоскости,
так как каждая из матриц (70) имеет вид А
1
при условиях (20).
С другой стороны, для каждой матрицы А
1
при условиях (20) можно
найти действительные числа s и λ (причем λ ≠ 0, λ ≠ 1), при которых матрица
А
1
совпадает с одной из матриц (70). Следовательно, каждое преобразование,
представленное в третьей строке таблицы 3 преобразований
копсевдоевклидовой плоскости, является гомотетией относительно
некоторого пучка параллельных прямых.
Согласно проведенной классификации преобразований при гомотетии
инвариантна каждая точка одной из абсолютных прямых, следовательно,
каждая прямая плоскости, не принадлежащая пучку гомотетии, переходит в
параллельную ей прямую. Каждая
прямая пучка гомотетии остается
инвариантной.
Расстояние между параллельными прямыми, пересекающимися на
второй (первой) прямой абсолюта при гомотетии с коэффициентом λ
относительно пучка с центром на первой (второй) прямой абсолюта,
заданной соответствующей матрицей (70), согласно равенству (43)
изменяется в |λ|
–1
(|λ|) раз.
Последнее равенство из (69) является одним из условий (47),
следовательно, гомотетия в общем случае является полудвижением.
При λ = – 1 получим частный вид гомотетии относительно пучка
параллельных прямых, при котором согласно условию 2 определения
гомотетии каждая точка плоскости переходит в ортогональную ей точку, то
есть, точка и ее образ перестановочны в данном преобразовании.
Учитывая
это свойство, дадим следующее определение.
Гомотетию с коэффициентом λ = – 1 относительно пучка параллельных
прямых (a, b) назовем ортогональным отражением в пучке (a, b).

Страницы