Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 185 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

184
Матрицы G
1
, G
2
(70), задающие гомотетию в произвольном
каноническом репере, при λ = – 1 и только в этом случае принимают вид
матриц L
2
,
L
1
из (52) при условиях а
31
= а
32
, а
31
= –а
32
соответственно.
Следовательно, гомотетия является абсолютным псевдодвижением тогда и
только тогда, когда λ = – 1, то есть когда гомотетия является ортогональным
отражением в пучке параллельных прямых.
4. Сжатие к неизотропной прямой
Пусть t – неизотропная прямая копсевдоевклидовой плоскости, k –
действительное число (k ≠ 0, k ≠ 1). Сжатием к неизотропной прямой t с
коэффициентом k назовем преобразование
k
t
С
, которое каждой точке М
копсевдоевклидовой плоскости ставит в соответствие такую точку M', что:
1) точки М и М' коллинеарны;
2) (ММ',Т) = – 1/ k, или (MM' РТ) = k, где Р (0:0:1) – точка пересечения
абсолютных прямых, Т – точка пересечения прямых t и МР.
При k ≠ 0, k ≠ 1 условия 1, 2 определяют взаимно однозначное
отображение копсевдоевклидовой плоскости на себя, отличное от
тождественного преобразования.
Заметим, что при k < 0 пара точек M, M'
разделяет пару точек Р, Т, то
есть изотропный отрезок MM'
пересекает прямую t. При k > 0 отрезок MM'
не пересекает прямую t.
Согласно определению сжатие к неизотропной прямой является
коллинеарным преобразованием копсевдоевклидовой плоскости.
В
данном преобразовании инвариантна каждая точка прямой t.
Действительно, любая точка М прямой t является точкой пересечения
этой прямой с изотропной прямой МР. Поэтому условие 2 в определении
сжатия к неизотропной прямой t с коэффициентом k принимает вид:
(MM'РМ) = k. Последнее равенство имеет смысл только в случае совпадения
точек М и M'
.
Аналитическая запись сжатия к неизотропной прямой t (t
1
: t
2
: t
3
)
совпадает с записью этого преобразования на коевклидовой плоскости ((47),
гл. 4, ч. 1). Матрица преобразования имеет вид:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
321
3
3
)1()1(
00
00
kttktk
t
t
(71)
и совпадает с матрицей А
2
четвертой строки таблицы 3 копсевдоевклидовых
преобразований (приложение 2).
Для матрицы (71)
выполняется первое неравенство (2), следовательно,
каждое отражение от неизотропной прямой является преобразованием
первого вида.

Страницы