Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 178 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

177
1. Поворотное отражение первого вида
Выберем некоторую неизотропную прямую t и на ней пару точек N
1
, N
2
,
принадлежащих одному абсолютному углу. Каждой точке M
копсевдоевклидовой плоскости и действительному положительному числу k
поставим в соответствие такую точку М' этой плоскости, что:
1) |MM'| = |N
1
N
2
|, то есть (l
1
l
2
(PМ)(PМ')) = (l
1
l
2
(PN
1
)(PN
2
));
2) ∠(N
2
М') t = k ∠(N
1
М) t;
3) точки M,
М' принадлежат одному квадранту (различным квадрантам)
относительно прямой t.
Покажем, что введенное соответствие является преобразованием первого
рода копсевдоевклидовой плоскости. Для каждой собственной точки M
копсевдоевклидовой плоскости условие 1 однозначно определяет
изотропную прямую m' (рис. 34),
содержащую точку М'. По условию
точки N
1
, N
2
принадлежат одному
абсолютному углу. Следовательно,
прямая t образует с прямыми N
2
М' и
N
1
М углы, меры которых
одновременно либо действительные
неотрицательные, либо чисто мнимые
с неотрицательной мнимой частью
величины. Поэтому при
действительном положительном
значении k условию 2 удовлетворяют
две прямые m
1
, m
2
пучка с центром в
точке N
2
, гармонически сопряженные относительно прямых N
2
P и t.
Следовательно, первые два условия определения задают точки M
1
', M
2
' в
различных квадрантах относительно прямой t. В зависимости от требования
условия 3 однозначно определим образ точки M.
Условия 1 – 3, очевидно, однозначно определяют прообраз М каждой
точки М' копсевдоевклидовой плоскости. По теореме 12 согласно условию 1
введенное преобразование первого рода.
Точки N
1
, N
2
принадлежат одному абсолютному углу, поэтому по
условию 1 каждая точка плоскости принадлежит одному абсолютному углу
со своим образом в данном преобразовании, следовательно, преобразование
первого вида.
Согласно первому условию преобразование не имеет инвариантных
изотропных прямых. Согласно второму условию данная неизотропная
прямая t – неподвижная прямая преобразования. Предположим, что
преобразование имеет еще одну неподвижную неизотропную
прямую u.
Если прямые t и u не параллельны, то точка их пересечения является
собственной неподвижной точкой в данном преобразовании, что
противоречит условию 1.
K
1
K
2
N
1
N
2
P
M
1
'
M
2
'
M
m'
t
m
1
m
2
l
1
l
2
Рис. 34

Страницы