Составители:
Рубрика:
10
Для любой точки Т прямой l (АР) существует единственная
точка Т', четвертая гармоническая к тройке точек Т, А, Р. Точки Т
и Т' принадлежат различным классам по отношению õ, так как
(ТТ' АР) = – 1 < 0.
Для любой точки М прямой l имеем: (ТТ' АР) = (ТМ АР)(МТ'
АР) < 0, следовательно, числа (ТМ АР) и (МТ' АР) имеют разные
знаки, поэтому точка М принадлежит либо классу, содержащему
точку Т, либо классу, содержащему точку Т'. Таким образом,
существует точно два класса эквивалентности по отношению õ.
Что и требовалось доказать.
Каждый класс эквивалентности по отношению õ назовем
лучом с началом в данной точке А. Будем говорить, что каждый
луч с началом в точке А определяет направление на прямой l.
Очевидно, на каждой параболической прямой относительно ее
некоторой точки существует точно два направления.
Рассуждая аналогично, можно доказать, что каждые две
точки А и В разделяют множество всех точек аффинной прямой
АВ на три класса.
Множество точек, состоящее из точек А, В и всех точек X,
разделяющих с бесконечно удаленной точкой P пару точек A и B,
назовѐм отрезком AB. Точки A и B назовѐм концами этого
отрезка.
Множество всех точек аффинной прямой АВ, не
разделяющих с точкой Р пару точек А и В, можно разбить точно
на два класса так, чтобы любые две точки одного класса не
разделяли пару точек А и Р, или, что равносильно, не разделяли
пару точек В и Р. Каждый из классов является лучом с началом в
точке А, или лучом с началом в точке В.
2. Пусть l – эллиптическая прямая. По определению
эллиптические прямые замкнуты и имеют две бесконечно
удаленные мнимо сопряженные точки. Понятие направления, в
привычном для нас смысле, на эллиптической прямой ввести
нельзя. Так как никакая точка эллиптической прямой не
разбивает ее на части. Если провести рассуждения пункта 1 для
эллиптической прямой l и вместо абсолютной точки Р принять в
рассуждениях некоторую собственную действительную точку В
этой прямой, получим следующее утверждение.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
