Избранные вопросы классических неевклидовых геометрий. Ромакина Л.Н. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

13
Отношение ọ, очевидно, является отношением
эквивалентности. Разделим по отношению ọ все точки множества
Ŋ на классы. Если две точки находятся в отношении ọ, то
отнесем эти точки к одному классу. Если точки не находятся в
отношении ọ, отнесем их к различным классам.
Фактор-множество Ŋ / ọ содержит точно два элемента.
Действительно. Пусть в проективном репере R
0
= {A, K
1
, B}
прямой l точки K
2
, U, W имеют координаты:
K
2
(k : 1), U (u : 1), W (–u : 1),
где k и u – решения совместной системы неравенств:
k < 1, u < 1, u(u – k)>0, u
2
– k
2
> 0.
Тогда для точек A, B, K
1
, K
2
, U, W выполняются условия:
(AB K
1
K
2
) = 1– k > 0,
то есть точки А и В принадлежат одной ветви γ, определенной
точками K
1
, K
2
, и
(UA K
1
K
2
) = u : (u – k) > 0,
(WU K
1
K
2
) = (u + k):(u – k) > 0,
то есть точки U, W также принадлежат ветви γ.
Из условий
(SS
0
K
1
K
2
) = –1, (SS
0
АB) = –1, (АSK
1
K
2
) > 0
находим единственную точку S (
1:11 k
) – середину отрезка
АВ. Так как справедливы неравенства:
(SUАB) < 0, (SWАB) < 0,
то точки U, W принадлежат множеству Ŋ, и так как
(UW K
1
A) < 0,
эти точки принадлежат различным классам по отношению ọ.
Следовательно, фактор-множество Ŋ/ ọ содержит не менее двух
элементов.
Для каждой точки F прямой t выполняется условие:

Страницы