Составители:
Пусть теперь ширина функции ƒ(t) уменьшается, а высота растет
так, чтобы сохранялась единичная площадь. Переходя к пределу
α→0 получаем дельта-функцию:
0
lim ( ) , 0
()
0, 0
f
tt
t
t
α
δ
→
=∞ =
⎧
⎪
=
⎨
≠
⎪
⎩
. (1.32)
В соответствии с уравнением (1.31) интеграл от
δ(t) равен
единице:
0
() lim 1tdt
ε
α
ε
α
δ
α
→
−
==
∫
, (1.33)
где ε>0 – произвольная малая величина. Дельта-функция может
занимать произвольное положение
t
0
на оси абсцисс, и введение
масштабирующего множителя
a дает интеграл от δ-функции,
равный
a:
0
0
0
,
()
0,
tt
att
tt
δ
∞=
⎧
−=
⎨
≠
⎩
, (1.34)
0
0
0
()
t
t
attdta
ε
ε
δ
+
−
−=
∫
. (1.35)
Свертка
δ-функции с произвольной функцией x(t) имеет вид:
00
() ( ) ( )
x
tttdtxt
δ
∞
−∞
−=
∫
, (1.36)
т.е. дает значение
x(t) при t=t
0
. Это свойство дельта-функции
можно использовать для нахождения значения
x(t) при t=t
0
. Пара
преобразований Фурье дельта-функции имеет вид:
2
() () 1,
jft
Xf te dt f
π
δ
∞
−
−∞
==−∞<<∞
∫
, (1.37)
2
() ()
jft
x
ted
f
t
π
δ
∞
−∞
==
∫
. (1.38)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- …
- следующая ›
- последняя »
