Теория измерений. Точность средств измерений. Романов В.Н. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Подставляя в (4.2.6) значения y(t) из (4.2.2) и заменяя
произведение интегралов двойным интегрированием, получим:
[]
()()( )
()() ()
0
121212
0
2
tt
zz
t
zy
De ht ht R d d
ht R t d D y t
τ
τττττ
τττ
−∞ −∞
−∞
=−− − −
−− −+⎡⎤
⎣⎦
∫∫
∫
, (4.2.7)
так как
()
()
()
2
00
M
yt Dyt
⎡⎤
=⎡ ⎤
⎣⎦
⎣⎦
, где D[y
0
(t)] - дисперсия y
0
(t),
()
zz
R
τ
-
ковариационная функция входного сигнала,
(
)
0
zy
R
τ
- взаимная
ковариационная функция входного и идеального сигнала.
Таким образом, отыскание оптимальной весовой функции
искомого фильтра
()
ht
τ
− сводится к решению вариационной
задачи поиска минимума
D[e]. Её решением является
интегральное уравнение Винера-Хопфа:
()( ) ()
0
111
;
t
zz zy
ht R d R t t
τ
ττ τ τ τ
−∞
−−=−>
∫
. (4.2.8)
Физически осмысленное решение уравнения (4.2.8), как
отмечалось в §3.3, может быть получено, если известно
дифференциальное уравнение, связывающее входной сигнал
z(t) с
белым шумом. Если спектральная функция входного сигнала
()
zz
S
ω
является дробно-рациональной и её можно представить в
виде двух сомножителей
(
)
(
)
ωμω
∗
⋅ , один из которых имеет
полюса в верхней полуплоскости, а второй (сопряженный) – в
нижней, то лапласовское изображение оптимальной
передаточной функции имеет вид:
()
()
(
)
()
0
0
11
2
zy
pt j t
S
hp e dt e d
p
ω
ω
ω
μπμω
∞∞
−
∗
−∞
=
∫∫
, (4.2.9)
где
()
0
zy
S
ω
- взаимная спектральная плотность входного и
идеального выходного сигналов.
В задаче фильтрации можно принять, что
(
)()
0
ht t
τ
δτ
−= −, а
полезный сигнал и помеха независимы, тогда (4.2.9) принимает
вид:
()
()
()
0
11
2
pt j t
hp e dt e d
p
ω
μ
ωω
μπ
∞∞
−
−∞
=
∫∫
. (4.2.10)
Минимум дисперсии погрешности фильтрации,
соответствующий оптимальной весовой функции, равен:

Страницы