Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 11 стр.

ÏÃÓ                                                                  Êàô ÂèÏÌ
              Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1


           РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ
                        РАБОТЫ № 1.

      1-10. Даны две матрицы А и В. Найти: а) АВ; б) ВА; в) А-1;
  г) А А-1; д) А-1А.

                          æ -4 0 1 ö       æ 1 2 -3 ö
                       А= ç 2 -1 3 ÷ , В= çç 2 0 1 ÷÷ .
                          ç        ÷
                          ç 3 2 2÷         ç -2 1 3 ÷
                          è        ø       è        ø
      Р е ш е н и е.
      а) Произведение АВ имеет смысл, так как число столбцов матрицы А
равно числу строк матрицы В. Находим матрицу С= АВ, элементы которой
сij = ai1b1 j + ai 2 b2 j + ai 3b3 j + ... + ain bnj .
Имеем:
           æ -4 0 1 ö æ 1 2 -3 ö æ -4 + 0 - 2 -8 + 0 + 1 12 + 0 + 3 ö
C = AB =   ç 2 -1 3 ÷ × ç 2 0 1 ÷ = ç 2 - 2 - 6 4 + 0 + 3 -6 - 1 + 9 ÷ =
           ç         ÷ ç        ÷ ç                                  ÷
           ç 3 2 2 ÷ ç -2 1 3 ÷ ç 3 + 4 - 4 6 + 0 + 2 -9 + 2 + 6 ÷
           è         ø è        ø è                                  ø
æ -6 -7      15 ö
ç -6 7        2 ÷÷ .
ç
ç 3 8        -1÷ø
è

 б) Вычислим
       æ 1 2 -3 ö æ -4 0 1 ö æ -4 + 4 - 9 0 - 2 - 6 1 + 6 - 6 ö
BA = çç 2 0 1 ÷÷ × çç 2 -1 3 ÷÷ = çç -8 + 0 + 3 0 + 0 + 2 2 + 0 + 2 ÷÷ =
       ç -2 1 3 ÷ ç 3 2 2 ÷ ç 8 + 2 + 9 0 - 1 + 6 -2 + 3 + 6 ÷
       è         ø è          ø è                                    ø
   æ -9 -8 1 ö
= çç -5 2 4 ÷÷ . Очевидно, что AB ¹ BA .
   ç 19 5 7 ÷
   è          ø

в) Обратная матрица A-1 матрицы A имеет вид:
                           æ A11 A21 A31 ö
                      1    çA            ÷
              A-1 =        ç  12 A22 A32 ÷ , где
                    D ( A) ç             ÷
                           è A13 A23 A33 ø




                                       11